Matematické Fórum

liamlim

Zdravím. Vymyslel jsem úlohu, která je možná jendoduchá, ale každopádně mě zaujala. Ještě jsem se ji nepokusil vyřešit takže nevím jak je těžká, dosud jsem si hlavně ověřoval platnost zadání. Když se vám bude chtít, můžete se pokusit:

Je dán trojúhelník ABC a libovolný bod X na straně AB. Na jiné straně trojúhelníku je dán bod Y tak, že součet vzdáleností bodu Y od zbylých dvou stran je roven součtu vzdáleností bodu X od stran AC a BC. Dokažte, že součet vzdáleností libovolného bodu úsečky XY od stran AB,BC,CA je konstantní.

Jak jsem psal již dříve, je to možná úplně triviální, ale já jsem si s tímto zadáním hrál celý dnešek a podobné věci mě fascinují. Jsem zvědavý na odpověď.

edit: Tady napíšu, co by se mělo podle mě využít při důkazu:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

liamlim

Nová úloha, obtížnější:

Jsou dány tři různoběžné přímky. Dokažte, že množina všech bodů v rovině majících od těchto tří přímek konstantní součet vzdáleností je šestiúhelník.

Edit: Pomoc:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Edit2: Vymyslet by se daly mnohem komplikovanější příklady. Např pokud vezmeme limitní případ dokazovaného tvrzení, zjistíme, že množina bodů v rovině mající součet dvojnásobku vzdálenosti od jedné přímky s vzdáleností od druhé přímky je rovnoběžník.

vanok · 19. 05. 2015 13:33

Ahoj ↑ liamlim:,
To sa zaujimas o peknu teoriu.

Mala poznamka, ktora da jednu moznu metodu prace.
Vieme ze v rovine rovine v repere $(O;\vec i,\vec j)$ , rovnica lubovolnej priamky sa pise vo forme $p:b=\vec a.\vec {OM}$
Potom sa lahko ukaze ze vzdialenost bodu $M$ vnutorneho bodu trojuholniku ohraceneho primkamy $p_1,p_ 2,p_3$ je $d(P)= (b_1-\vec a_1.\vec{OM})+(b_2-\vec a_2.\vec{OM})+(b_3-\vec a_3.\vec{OM})$

Pridam este ze v pripade rovnostraneho trojuholnoka mame tiez nieco zaujimave.
Co mozeme povedat o d(P)?
( tato poznamka je inspirovana aj vlasnostami konvexity, afinnymii vlasnostamy, vrstevnicami, ako na mape)

Co si myslis o tejto poznamke.

liamlim · 19. 05. 2015 13:42

↑ vanok:

Já jsem k tomu došel tak, že jsem se nejprve díval jak vypadá množina bodů mající od tří bodů stejnou vzdálenost. Pomocí elips a počítače jsem zjistil tvar tohoto útvaru se třemi ohnisky ale nedokázal jsem přijít na žádnou hezkou vlastnost takového útvaru. Proto jsem zaměnil body za přímky a došel jsem k tomu s tím šestiúhelníkem. Myslel jsem si, že to půjde nějak jednoduše spočítat, ale nevěděl jsem jak. Já to odvozoval mnohem složitěji.

Celkem mě zajímají takové věci. Ale teď nad tím nemůžu moc přemýšlet protože pozítří maturuju. Pak se zkusím podívat jak vypadá množina bodů mající konstantní součet vzdáleností od bodu a dvou přímek, atd. Jen pro zajímavost. Prostě mě zajímá jak to bude vypadat.

vanok · 19. 05. 2015 15:53

↑ liamlim:,
Vsak pochopitelne, to je skor tema ako jej varianty, na cele prazdniny.
Vela uspechov.

Matematické Fórum

#1 16. 05. 2015 23:21 — Editoval liamlim (17. 05. 2015 16:39)

trojuhelník, součet vzdáleností od stran

#2 19. 05. 2015 11:00 — Editoval liamlim (19. 05. 2015 11:29)

Re: trojuhelník, součet vzdáleností od stran

#3 19. 05. 2015 13:33

Re: trojuhelník, součet vzdáleností od stran

#4 19. 05. 2015 13:42

Re: trojuhelník, součet vzdáleností od stran

#5 19. 05. 2015 15:53

Re: trojuhelník, součet vzdáleností od stran

Zápatí