Matematické Fórum

Mautinek

Zdravím, mám zadanou funkci:

$f(x,y)=\frac{1}{\sqrt{\cos(\pi x)-y}}+\sqrt{\cos(\pi x)+y}$

Pro definiční obor tedy platí:
- jmenovatel větší než 0 $\cos(\pi x)-y > 0$
- zároveň $\cos(\pi x)+y \ge 0$
- cos je roven nule pro $\cos = 0 pro \frac{\pi}{2} + k \pi , kde k \in Z$

Zde ale nevím jak to dále upravovat, myslím že nemohu provést toto: $\cos(\pi x)-y > \frac{\pi}{2} + k \pi$ , protože zde je ještě y. Napadlo mě položit např y = 0 a poté by vypadlo a mohl bych tedy takto určovat x pro jednotlivá y, ale zřejmě to není to pravé. Mohl by mi, prosím, někdo poradit, jak na to? Děkuji

musixx · 06. 05. 2009 13:08 — Editoval musixx (06. 05. 2009 13:14)

Jde-li o komplexni funkci, pak staci vyloucit nulovost jmenovatele, tedy by se definicni obor dal psat treba jako ${\mathbb R}^2\setminus\big\{\ (a,\ \cos\pi a)\ |\ a\in{\mathbb R}\ \big\}$ .

Jde-li o funkci realnou, pak se k vyse uvedenemu musi jeste pridat, ze vyrazy pod odmocninami jsou nezaporne. S tim se toho ale moc delat neda, leda tak od vyse uvedeneho jeste odecist sjednoceni $\big\{\ (a,b)\ |\ a,b\in{\mathbb R},\ \cos\pi a-b<0\ \big\}\cup\big\{\ (a,b)\ |\ a,b\in{\mathbb R},\ \cos\pi a+b<0\ \big\}$ .

Rumburak

↑ Mautinek:
Představu o řešení nerovnice $\cos(\pi x)-y > 0$ si vytvoříme tím, že si ji (tj. nerovnost) nejprve upravíme do tvaru $\cos(\pi x) > y$
a pak si načrtneme obrázek. Zjistíme, že jejím řešením je každý bod [x,y], který leží "pod grafem" fce $c(x) =\cos(\pi x)$
(přesně řečeno: v té komponentě roviny Pxy vyťaté grafem fce c, která obsahuje bod [0,0]).

Mautinek

Díky,
definiční obor se má najít v R.

Co se týče toho obrázku, pokud to chápu správně, tak by měl vypadat takto (modře vybarvená část, bez křivky $\cos(\pi x)$ )

Jak, by poté vypadal pro možnost $\cos(\pi x) \ge -y$ a poté jejich sjednocení?

Rumburak

Musely by se k modře vybarvené množině přidat body grafu (které jsou nyní obarveny červeně).

EDIT: TAKTO bychom znázornili řešení nerovnice $\cos(\pi x) \ge y$ .
Řešení nerovnice $\cos(\pi x) \ge -y$ viz níže musixx , který mne upozornil na chybu.
Tož pardon.

musixx · 06. 05. 2009 15:45

↑ Mautinek: Je treba $\cos(\pi x) \ge -y$ prepsat jako $y\geq-\cos(\pi x)$ , graf funkce $f(x)=-\cos(\pi x)$ si nakreslit a vzit prozmenu to "nad" nim(v priapde neostre nerovnosti take graf samotny).

Nebudes brat jejich sjednoceni, ale prunik - protoze chces, aby obe odmocniny zustaly v realnych cislech.

↑ Rumburak: Asi sis nevsiml, ze se tez zmenilo znamenko u y. Takze tva odpoved je nespravna.

Poznamka: Obecne tady pro "vykresleni" definicniho oboru vyuzivame toho, ze polozime-li vyraz pod odmocninou roven nule, muzeme tuto rovnost prevezt na tvar $y=f(x)$ . Jinak by to nebylo vubec tak jednoduche.

Rumburak · 06. 05. 2009 16:13

↑ musixx:
Máš pravdu, skutečně jsem si té dvojí změny nevšiml. Už je to opraveno - děkuji za upozornění.

Matematické Fórum

#1 06. 05. 2009 12:36 — Editoval Mautinek (06. 05. 2009 12:38)

Def. obor fce s více proměnnými

#2 06. 05. 2009 13:08 — Editoval musixx (06. 05. 2009 13:14)

Re: Def. obor fce s více proměnnými

#3 06. 05. 2009 14:22 — Editoval Rumburak (06. 05. 2009 14:32)

Re: Def. obor fce s více proměnnými

#4 06. 05. 2009 15:05 — Editoval Mautinek (06. 05. 2009 15:07)

Re: Def. obor fce s více proměnnými

#5 06. 05. 2009 15:10 — Editoval Rumburak (06. 05. 2009 16:21)

Re: Def. obor fce s více proměnnými

#6 06. 05. 2009 15:45

Re: Def. obor fce s více proměnnými

#7 06. 05. 2009 16:13

Re: Def. obor fce s více proměnnými

Zápatí