Matematické Fórum

Kdosi · 18. 05. 2015 19:40

Přeji pěkný večer,
zajímalo by mě pár věcí o této diferenciální rovnici. Nechci ji tedy řešit, ale jen se optat.
$k_{1}y''+k_{2}\sin(y)+k_3=0$
K tomu bych možná ještě mohl přidat nějaké počáteční podmínky, ale ty, pokud jsem dobře informován, řešitelnost neovlivní.
káčka jsou nějaké reálně konstanty (pokud správně tuším, až tolik na nich nezáleží)
Jde mi o to zda je analyticky řešitelná, případně jak je složité ji analyticky řešit.
Vím, že $sin(y)$ se dá pro malé hodnoty aproximovat pomocí normálního lineárního $y$ k tomu by mě zajímalo jak moc "nepřesné" to potom bude a taky jestli je pravda, že je rozumné to použít jen pro y do 5°.
Dále co by mi to analyticky zkontrolovalo, případně numericky vypočítalo.
Moc děkuji za Váš čas, pěkný večer :)

Bati · 20. 05. 2015 16:02

Ahoj.
Nelineární ODR 2. řádu obecně analyticky řešit nelze. Tvoje rovnice je ale navíc autonomní, tj. ve tvaru $y''(x)=F(y(x))$ , kterou lze analyticky snadno řešit tak, že se to přenásobí $y'$ , využije se $2y'y''=((y')^2)'$ , zintegruje se to, odmocní a zase zintegruje. Nikdo neříká, že příslušné primitivní funkce budeme schopni spočítat, ale můžeme napsat analytické řešení pomocí integrálů. Tak to bude jistě i tady, protože už jen spec. případ dané rce $y''=\sin{y}$ vede na eliptický integrál prvního druhu.

Aproximace sinu ypsilonem by byla dost nešťastná, protože k tomu bys musel dopředu vědět, že řešení má obor hodnot v malém okolí nuly.

Jinak, $\sin{x}=x-x^3/6+x^5/120-\ldots$ , pokud tě zajímá přesný odhad chyby při useknutí tohoto rozvoje, hledej na wiki Taylorův zbytek.

Kdosi · 22. 05. 2015 19:27

↑ Bati:
Moc děkuji, přesně takovou odpověď jsem potřeboval :)

Matematické Fórum

#1 18. 05. 2015 19:40

Diferenciální rovnice

#2 20. 05. 2015 16:02

Re: Diferenciální rovnice

#3 22. 05. 2015 19:27

Re: Diferenciální rovnice

Zápatí