Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 21. 05. 2015 18:33
- check_drummer
- Příspěvky: 4891
- Reputace: 105
Teorie vylučující nestandardní model
Ahoj,
lze ukázat, že nelze sestrojit teorii aritmetiky (tj. sadu axiomů), která bude mít jediný model ("standardní" přirozená čísla). Je to tzv. Skolemova věta. Výsledek je to zajímavý, ale svým způsobem i zarážející: Pokud bych chtěl (jednoznačně) syntakticky (tj. pomocí vhodných axiomů) popsat strukturu přirozených čísel, tak se mi to nepodaří. Neznamá to, že je syntaktická metoda příliš slabá a neměla by logika hledat jiné základy - aby pospala přirozená čísla jednoznačně?
(Tím nechci říct, že by nestandardní model a nestandardní analýza nebyly zajímavé, ale podle mého to spíše poukazuje na nedostatečnost syntaktické metody - možná i tato nedostaečnost může mít za následek větu o neúplnosti.)
"Máte úhel beta." "No to nemám."
Offline
#2 02. 10. 2015 23:43
Re: Teorie vylučující nestandardní model
↑ check_drummer:
Ahoj.
Ano, nelze sestrojit teorii která má pouze jeden nekonečný model. To ale neznamená, že nemohu popsat přirozená čísla dostatečně.
Uvedu příklad: Přirozená čísla se sčítáním (to znamená 0, následník, sčítání a příslušné axiomy). Tato teorie je úplná, takže vyčerpávajícím způsobem popisuje veškeré vlastnosti přirozených čísel pro SVŮJ jazyk. Nemůže samozřejmě popisovat svůj model.
Druhý příklad: Teorie množin je axiomatická teorie, která umožňuje syntakticky popsat dokonce strukturu přirozených čísel (i s násobením). Ale opět samožřejmě nemůže popsat svůj vlastní model.
Dva jsou tisíckrát jeden.
Offline