Matematické Fórum

Kulda27 · 24. 05. 2015 11:55

Ahoj,
připravuji se na test z matematiky a propočítávám si přiklady na absolutní extrémy. Všechny příklady jsou tak nějak podobné a vždy se mi podařilo dojít ke správnému výsledku (na množině, na úsečce tvořené body atd...). Pak jsem však narazil na absolutní extrémy na kružnici a nějak si s tím nevím rady. Zadání je: $F(x,y)= x^2+2xy+y^2-2x+2y$ na kružnici $x^2+y^2=4$ .

Nejdříve si udělám parciální derivace zadané fce, nevyjdou mi žádné SB. Následně podle Lagrangeovy metody vypočítám $\lambda$ ... ale vyjde mi $\lambda =1/x$ nebo $\lambda =-2$ a $x=1/\lambda , y=-1/\lambda$ . Po dosazení x a y do podmínky(kružnice) vychází $\lambda =\pm \sqrt{2}/2$ .

Zde má být konkrétní výsledek abs. max.: [-2,2] a abs. min.: [2,-2].

Předem děkuji za jakékoliv rady.

jelena · 25. 05. 2015 22:43

Zdravím,

pokud ještě aktuální: podle LM mám:
$x+y-1+x\lambda=0$
$x+y+1+y\lambda=0$
$x^2+y^2=4$

Po sečtení prvních rovnic mám $2x+2y+(x+y)\lambda=0$ , po úpravě na součin je $\lambda =-2$ nebo $x=-y$ (toto dosazuji do rovnice kružnice $x^2+y^2=4$ , mám první dvojice bodů.

$\lambda =-2$ dosadím do
$x+y-1+x\lambda=0$
$x+y+1+y\lambda=0$
a po úpravě dostanu $y=x+1$ , což opět dosadím do $x^2+y^2=4$ (další dvojice bodů).

Pokud nemám nějakou nepřesnost v úpravách (raději překontroluj, prosím), kontrola WA. V pořádku? Děkuji.

Kulda27 · 26. 05. 2015 09:58

↑ jelena:

Ano, je to aktuální, děkuji za reakci!

Výsledek má být bohužel abs. max.: [-2,2] a abs. min.: [2,-2]

Něco podobného jak píšete jsem také zkoušel, bohužel jsem se také nedostal ke správnému výsledku. Nemá se v příkladu zohledňovat to, že jde o kužnici?

Děkuji

jelena · 26. 05. 2015 10:10

↑ Kulda27:

Zdravím,

Výsledek má být bohužel abs. max.: [-2,2] a abs. min.: [2,-2]

to bude spíš nějaký nepořádek v zadaní nebo ve výsledku, jelikož body "[-2,2] a [2,-2]" ani neleží na kružnici $x^2+y^2=4$ , ani uvnitř (pokud by se předpokládalo, že hledáme na kruhu. Odkud je úloha? Děkuji.

Al1 · 26. 05. 2015 10:16 — Editoval Al1 (26. 05. 2015 10:17)

↑ Kulda27:

Zdravím,

extrémy hledáme na kružnici. Pokud dosadíte body z nabízeného výsledku, leží na kružnici $x^2+y^2=4$ ?

Kulda27 · 26. 05. 2015 10:19

↑ jelena:

Jedná se o tuto sbírku příkladů, konkrétně příklad 6.21

Ještě bych se chtěl ohledně extrémů zeptat na jednu věc. Mám zjistit (konkrétně hned třeba příklad 6.22) lokální extrém funkce, jejíž druhá parciální derivace mi vyjde s proměnnou (v tomto případě $12x^{2}$ ) a při počítání determinantu matice mi vždy vyjde výsledek 0, protože dosazuji nulvou hodnotu bodu [0,0]. Jakým způsobem tedy zjistím, že daný bod [0,0] je opravdu lokální minumum?

Děkuji

jelena · 26. 05. 2015 11:08

↑ Kulda27:

děkuji, u úlohy 6.21 určitě bude překlep (v zadání nebo ve výsledku), kontrola, že body kružnici nepatří, je dost průkazná - nejlepší bude upozornit buď autora, nebo vašeho vyučujícího.

Úloha 6.22 (a jiné úlohy, kde nejde použit Sylvestrovo kritérium) volíme jiný způsob odůvodnění - spíš "individuálně dle zadání". V 6.22 jde rozebrat, že funkce je definována na R, v zadání funkce je pouze součet sudých mocnin, tedy může mít buď kladnou nebo nulovou hodnotu (tato nulová hodnota je minimem, jelikož kladná hodnota bude vždy větší). Obvykle to tak bývá komentováno i v materiálech, nebo i na fóru se takové individuální případy jsou rozebrány.

Kulda27 · 26. 05. 2015 11:22

↑ jelena:

Děkuji mnohokrát!!

Takže, vyřešeno.

jelena · 26. 05. 2015 22:45

↑ Kulda27: také děkuji, označím za vyřešené.

Matematické Fórum

#1 24. 05. 2015 11:55

Absolutní extrémy f(x,y) na kružnici

#2 25. 05. 2015 22:43

Re: Absolutní extrémy f(x,y) na kružnici

#3 26. 05. 2015 09:58

Re: Absolutní extrémy f(x,y) na kružnici

#4 26. 05. 2015 10:10

Re: Absolutní extrémy f(x,y) na kružnici

#5 26. 05. 2015 10:16 — Editoval Al1 (26. 05. 2015 10:17)

Re: Absolutní extrémy f(x,y) na kružnici

#6 26. 05. 2015 10:19

Re: Absolutní extrémy f(x,y) na kružnici

#7 26. 05. 2015 11:08

Re: Absolutní extrémy f(x,y) na kružnici

#8 26. 05. 2015 11:22

Re: Absolutní extrémy f(x,y) na kružnici

#9 26. 05. 2015 22:45

Re: Absolutní extrémy f(x,y) na kružnici

Zápatí