Matematické Fórum

slonik · 02. 06. 2015 15:13 — Editoval slonik (02. 06. 2015 15:14)

Ještě bych se zeptal na poslední příklad z analytiky:

Napište rovnici tečny kružnice $x^{2}+y^{2}=20$ v bodě $T=[2;4]$

Střed kružnice je jistě S=[0;0]

Spočítal jsem tedy vektor ST = T-S = (2,4) a protože je tečna na ten vektor kolmá, udělal jsem z něj normálový vektor (4,-2) = (2,-1). Poté už jsem chtěl jenom dosadit bod T a dokončit rovnici. Ta má podle výsledků být x+2y-10=0, což odpovídá vektoru (1,2). Jak ho mám získat?

Edit: Vím, že se dá použít rovnice pro tečnu, ale ta je značně složitá a u přijímacích zkoušek nebudu mít tabulky...

tng013 · 02. 06. 2015 15:26

Směrový vektor ST je sám o sobě už normálovým vektorem tečny. :-)

marnes · 02. 06. 2015 15:38

↑ slonik:
Pro obecnou rovnici potřebuješ vektor normálový a ten je zároveň vektorem směrovým pro přímku ST
Jinak rovnice tečny

$x.x+y.y=20$ a za jedno x a jedno y dosadíš bodt T

$x.2+y.4=20$ a máš rovnici tečny

Cheop · 03. 06. 2015 08:03

↑ slonik:
Jiný způsob:
Rovnice tečny bude mít tvar:
$y=kx+q$ - dosazením tečného bodu dostaneme:
$4=2k+q\\q=-2k+4$
Rovnice tečny bude:
$y=kx-2k+4$
Z rovnice kružnice $x^2+y^2=20$ vyjádříme y a po zderivování dostaneme směrnici k hledané tečny tj:
$x^2+y^2=20\\y=\sqrt{20-x^2}\\y^\prime=\frac{-x}{\sqrt{20-x^2}}$ - dosadíme x-ovou souřadnici bodu T a dopočteme k
$k=\frac{-x}{\sqrt{20-x^2}}\\k=\frac{-2}{\sqrt{20-4}}=-\frac 12$
Rovnice tečny:
$y=kx-2k+4\\y=-\frac x2+1+4\\x+2y-10=0$

Matematické Fórum

#1 02. 06. 2015 15:13 — Editoval slonik (02. 06. 2015 15:14)

Rovnice tečny kružnice

#2 02. 06. 2015 15:26

Re: Rovnice tečny kružnice

#3 02. 06. 2015 15:38

Re: Rovnice tečny kružnice

#4 03. 06. 2015 08:03

Re: Rovnice tečny kružnice

Zápatí