Matematické Fórum

Vaclav92 · 03. 06. 2015 17:13

Dobrý den,
chtěl bych Vás poprosit o radu, či pomoc.

Mám za sebou sepsání bakalářské práce, která se jmenuje Komplexní čísla a jejich využití v geometri.
V práci ukazuji, jak se použitím komplexních čísel zjednoduší řešení některých geometrických úloh.(shodná, podobná zobrazaní, kruhová inverzce, kruhová transformace). Příští týden mám obhajobu a oponent mě zaskočil otázkou, zda bych mohl uvést nějaký příklad, ve kterém se řešení užitím komplexních čísel nezjednoduší, naopak stíží. A mne bohužel doposud nic nenapdlo.

Chtěl bych Vás tedy poprosit, zda byste mi někdo nedokázal pomoci a neukázal mi nějaký takový příklad.

Mockrát děkuji

byk7 · 03. 06. 2015 17:38

Konkrétní příklad ti asi nedám, ale zkus se podívat na nějaké geometrické úlohy z IMO. Prý se je snaží vybírat tak, aby přes nesyntetické metody nebyly moc schůdné.

Osobně bych hledal něco, kde je víc kružnic. Co vím, tak pomocí komplexních čísel se blbě vystihuje chování nelineárních útvarů.

vanok · 03. 06. 2015 19:12 — Editoval vanok (03. 06. 2015 23:03)

Ahoj ↑ Vaclav92:,
Hovorit, ci sa nieco stazi alebo zjednodusi je neodpovedatelna otazka. To zavisi od kazdeho a od jeho znalosti.
No mozes dat na tento web tvoju pracu?

Tu mas niekolko navrhov.... ( no je to dobre odpoved na tvoju otazku, ked nevieme aka je tvoja uroven?)
1., velmi zname cvicenie
Najdite nutnu a dostatocnu podmienku aby body A,B,C, komplexnej roviny boli vrcholy rovnostranneho trojuholnika.
(Niekto by tu povedal zo zakladnej viem, ze ide o trojuholnik co ma vsetki jeho strany...)
2., dokaz existencie Steiner-ovej elipsy
Kazdy skutocny trojuholnik ma jedinnu elipsu ktora sa dotyka v prostriedku kazdej jeho strany

3., (Gauss-Lucas)
Ak $P\in C[X]$ tak korene $P'$ su v convexnej obalke korenov $P$
4., pravouhly trojuholnik( toto je trocha metoda, ako urobit trochu necakanu podmienku ale moze sa zdat ze komplexne cisla to komplikuju?)
Dat nutnu a dostatocnu podmienku aby trojuholnik ABC bol pravouhly, v komplexnej rovine vo vrchole A, kde A(z), B(-b), C(b). (b realne cislo, z komlexne)
Na pokracovanie....no cakame od vas, vase dokazy... A je iste, ze kazdy kto sa stretol z pojmom komplexneho cisla by mal porozmyslat o tejto problematike ... A to nezavisle od prvej otazky tohto vlakna.

kaja.marik · 03. 06. 2015 20:44

Ja myslim, ze pokud ta bakalarka neni na MIT tak ta otazka nemiri moc vysoko.

Asi by to chtelo videt ty bakalarku. Taky, jestli tam pracujete s komplexnima cislama jenom v algebraickem tvaru, nebo v libovolnem.

Ale asi je lepsi rict nevim, nez tam zacit povidat o necem, co mi nekdo poradil na foru a o cem toho sam moc nevim!

Eratosthenes · 03. 06. 2015 22:24

ahoj ↑ Vaclav92:,

podle mě je docela dobré něco na způsob prvního nápadu od ↑ vanok:. Třeba:

V rovině jsou dány dva různé body A,B. Sestrojte bod C tak, aby ABC byl rovnostranný trojúhelník.

Úloha řešitelná dvojím mávnutím kružítka.

V Gaussově rovině jsou dány dvě různá čísla z_1,z_2. Určete číslo z_3 tak, aby čísla z_1, z_2, z_3 tvořila vrcholy rovnostranného trojúhelníka.

Úloha chce vlastně totéž, co předtím. Ale počítat by se mi to tedy moc nechtělo...

bedrnik · 03. 06. 2015 22:31

Ahoj,

myslím, že by také šlo jako příklad použít libovolné lineární zobrazení $A : R^2 \to R^2$ , kde A není ve tvaru $A = ( \begin{smallmatrix} \phantom{-}a & b \\ -b & a \end{smallmatrix} )$ ani $A = ( \begin{smallmatrix} a & \phantom{-}b \\ b & -a \end{smallmatrix} )$ s reálnými $a$ , $b$ (pro bližší vysvětlení viz Cauchyho-Riemannovy podmínky). V takovém případě je asi trochu pohodlnější používat maticový zápis s reálnými čísly než zápis s pomocí komplexních čísel.