Matematické Fórum

KubaP · 07. 06. 2015 12:07 — Editoval KubaP (07. 06. 2015 12:09)

Ahoj, jak je to s ekvivalentními podmínkami při umocňování nerovnic? Já přece mohu celou nerovnici umocnit jen pokud bude celá levá a pravá strana kladná ne? Ale platí to i u iracionálních nerovnic? resp. pokud budu mít nerovnici

$\sqrt{x^{2}-3x+2}\ge 2-x$

Mohu jí rovnou celou umocnit, po stanovení podmínek pro odmocninu?
Protože pokud bych stanovil podmínky i pro pravou stranu, pak by samozřejmě nerovnice nevyšla..
Ovšem jsou i případy, kdy se stanovit podmínky pro pravou stranu musí. Například, když si předchozí nerovnici upravím na

$\sqrt{x^{2}-3x+2}\le -x-2$

Tak si řeknu, že levá strana bude vždy kladná, zaručím to ještě podmínkami pro odmocninu a teď vidím, že pravá strana musí být větší než levá.. takže logicky nikdy nesmí být záporná, proto bych stanovil podmínky pro pravou stranu, že -x-2>0 takže x<-2
A právě díky této podmínce zjistím, že řešením je prázdná množina, resp. nemá řešení...
Takže tady to stanovení podmínky pro pravou stranu samozřejmě platí..

zdenek1 · 07. 06. 2015 12:19

↑ KubaP:
musíš stanovit podmínky pro odmocninu
a pak rozdělíš na dva případy
a) pravá stana je nezáporná - můžeš umocnit
b) pravá stana je záporná - nerovnice je triviálně splněná tam, kde platí podmínky pro odmocninu

KubaP · 07. 06. 2015 12:36 — Editoval KubaP (07. 06. 2015 12:42)

Pokud bych si z pravé strany první nerovnice stanovil podmínku, že 2-x<0 tak by x>2 při průniku s výsledkem umocněné nerovnice x>=2 a podmínky odmocniny x=(-nekonečno;1>U<2;nekonečno) ... by výsledek vyšel interval (2, nekonečno) Jenže ta 2ka tam při zkoušce přece být může.

Mohl by jsi mi prosím ukázat příklad jak to myslíš?

EDIT:
Takže platí, že si musím u každé nerovnice kontrolovat znaménko a hledat, kdy nesmí být strana bez odmocniny záporná? Jinak podmínky pro tu stranu stanovovat nemusím?

Al1 · 07. 06. 2015 13:11 — Editoval Al1 (07. 06. 2015 13:27)

↑ KubaP:

Zdravím,

A stanovení existence odmocniny - to máš
B rozdělit řešení na dvě větve, v obou řešíme průniky s podmínkami z A.
a) odmocnina je větší nebo rovna zápornému číslu, tedy 2-x<0
tvar nerovnice $L_{0}^{+}\ge P^{-}$ to je splněno vždy, takže množina řešení je $(2, \infty )$

b) odmocnina je větší nebo rovna nezápornému číslu, tedy 2-x>=0 (C)
tvar nerovnice $L_{0}^{+}\ge P_{0}^{+}$ , můžeme umocnit a dořešit nerovnici (D)
Dostaneme průnik intervalů z A, z C a D. výsledkem je $\langle2, \infty )$ .
Na závěr a) a b) sjednotíme

KubaP · 07. 06. 2015 13:25 — Editoval KubaP (07. 06. 2015 13:40)

Díky moc :)

Matematické Fórum

#1 07. 06. 2015 12:07 — Editoval KubaP (07. 06. 2015 12:09)

Iracionální nerovnice

#2 07. 06. 2015 12:19

Re: Iracionální nerovnice

#3 07. 06. 2015 12:36 — Editoval KubaP (07. 06. 2015 12:42)

Re: Iracionální nerovnice

#4 07. 06. 2015 13:11 — Editoval Al1 (07. 06. 2015 13:27)

Re: Iracionální nerovnice

#5 07. 06. 2015 13:25 — Editoval KubaP (07. 06. 2015 13:40)

Re: Iracionální nerovnice

Zápatí