Matematické Fórum

Tomas5 · 11. 06. 2015 14:50 — Editoval Tomas5 (11. 06. 2015 14:51)

Dobrý den,
nevím jak začít s tímto příkladem. Prosím jen o myšlenku postupu, o zbytek se pokusím už sám.
. Do trojúhelníka KLM (K=[2,0], L=[6,3], M=[-1,5]) vepište elipsu tak, aby daný bod F1[0,4] uvnitř trojúhelníka byl jejím ohniskem. Děkuji za pomoc.

Rumburak

↑ Tomas5:
Ahoj.

Tuto úlohu jsem sice nikdy neřešil, ale snad by to mohlo jít následovně:

1. Určit rovnici obecné elipsy mající za ohnisko bod $F[0,4]$ . Pozor na to, že osy takové elipsy nemusí být
rovnoběžné se souřadnicovými osami. Její rovnice bude závislá dejme tomu že na paremetrech $a, b , \varphi$ ,
kde $a, b > 0$ jsou délky jejích poloos a $\varphi$ odchylka hlavní osy od souřadnicové osy $x$ .

2. Hodnoty uvednených parametrů hladat takové, aby elipsa měla dotyk s danými přímkami.

Ale je možné, že existují i další metody.

Jj · 11. 06. 2015 15:24 — Editoval Jj (11. 06. 2015 16:11)

↑ Tomas5:

Dobrý den.

Jde-li o konstrukční úlohu, pak bych řekl, že

1. Sestrojit body F', F'', F''' souměrně sdružené k ohnisku F1 podle jednotlivých stran.
2. Druhé ohnisko F2 bude ležet v průsečíku os úseček F'F'', F'F''', F''F'''.
3. Vzdálenost F'F2 = F''F2 = F'''F2 = 2a

Tomas5 · 11. 06. 2015 15:32 — Editoval Tomas5 (11. 06. 2015 17:03)

Dobrý den↑ Rumburak:, obecná rovnice je $\frac{(x-x_{0})^{2}}{a^2}+\frac{(y-y_{0})^{2}}{b^2}=1$ , ale ohnisko znám jen jedno. Nevím do jakého vzorce se dosazuje. Úlohu stačí vyřešit jednou metodou analyticky nebo synteticky.

Rumburak · 11. 06. 2015 16:27

↑ Tomas5:

Rovnice, kterou ukazuješ, je ale příliš speciální (její osy jsou rovnoběžné s osami souřadnic).

Obecnou rovnici můžeme odvodit třeba takto: když $a > b > 0$ jsou poloosy, potom
$e = \sqrt{a^2 - b^2}$ a je-li $\varphi$ zmíněný úhel, umíme určit druhé ohnisko. Rovnici elipsy pak
odvodíme z její ohniskové definice.

Neříkám, že to je snadné, ale 1. ročníku MFF by to odpovídat mohlo :-).

Tomas5 · 11. 06. 2015 17:03

Tedy takto ? $\frac{((x-x_{0})\cos \varphi +(y-y_{0})\sin \varphi )^{2}}{a^2}+\frac{((x-x_{0})\sin \varphi -(y-y_{0})\cos \varphi )^{2}}{b^2}=1$

Jj · 11. 06. 2015 17:05

Náčrtek k postupu uvedenému tady: ↑ Jj:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Eratosthenes · 11. 06. 2015 17:10

ahoj ↑ Tomas5:

myslím, že konstrukčně i analyticky je nejjednodušší postup dle ↑ Jj:

Rumburak

↑ Tomas5:

V principu nějak tak, pokud je tento tvar rovnice elipsy správný (zdá se, že ano).
Bezvadně by se ovšem hodil, když by byl zadán střed elipsy - bod $S[x_0, y_0]$ .
V naší úloze je ale zadáno ohnisko $F[0,4]$ . Můžeme postupovat tak, že si parametricky
vyjádříme druhé ohnisko $G[p,q]$ a odtud

$S = \frac{F+G}{2} , \cos \varphi = ..., \sin \varphi = ...$ ,

což dosadíme do Tvé rovnice. Nezapomeneme při tom na vztah bodů $F, G$ i k dalším
parametrům $a, b$ .

Brano · 12. 06. 2015 20:49 — Editoval Brano (12. 06. 2015 20:54)

ja by som povedal, ze to co hovori ↑ Jj: je dobry navod

tento postup je dost jednoduchy a da sa urobit aj anlyticky - tie reflexie $F', F'', F'''$ sa vypocitaju dost lahko rovnako ako aj stred kruznice na ktorej lezia - co je $F_2$ a jej polomer je $2a$ a vysledna rovnica je
(vektorovo) $|X-F_1|+|X-F_2|=2a\quad(=|F_2-F''|)$

vanok · 15. 06. 2015 11:10 — Editoval vanok (15. 06. 2015 11:10)

Ahoj ↑ Brano:,
A ma to suvis z smerovou kruznicov (= cercle directeur). Jazykovi specilalisti na cz, sk nam pridaju bezne pouzivanu terminologiu.

Rumburak · 15. 06. 2015 11:25

↑ vanok:
Ahoj.
Jazykový specialista sice nejsem, ale v české terminologii ja tato kružnice nazývána řídicí kružnicí,
což je - myslím - jen jiný překlad fr. slova "directeur" či italského "direttore" a pod.

vanok · 15. 06. 2015 11:37

Vyborne ↑ Rumburak:,
A este poznamka: nepomylte sa z tymto http://en.wikipedia.org/wiki/Director_circle
Kde, podla mna je lepsie pouzit term orthopticka kruznica.

Matematické Fórum

#1 11. 06. 2015 14:50 — Editoval Tomas5 (11. 06. 2015 14:51)

elipsa vepsaná trojúhelníku - konstrukce

#2 11. 06. 2015 15:10 — Editoval Rumburak (11. 06. 2015 16:14)

Re: elipsa vepsaná trojúhelníku - konstrukce

#3 11. 06. 2015 15:24 — Editoval Jj (11. 06. 2015 16:11)

Re: elipsa vepsaná trojúhelníku - konstrukce

#4 11. 06. 2015 15:32 — Editoval Tomas5 (11. 06. 2015 17:03)

Re: elipsa vepsaná trojúhelníku - konstrukce

#5 11. 06. 2015 16:27

Re: elipsa vepsaná trojúhelníku - konstrukce

#6 11. 06. 2015 17:03

Re: elipsa vepsaná trojúhelníku - konstrukce

#7 11. 06. 2015 17:05

Re: elipsa vepsaná trojúhelníku - konstrukce

#8 11. 06. 2015 17:10

Re: elipsa vepsaná trojúhelníku - konstrukce

#9 12. 06. 2015 10:00 — Editoval Rumburak (12. 06. 2015 10:08)

Re: elipsa vepsaná trojúhelníku - konstrukce

#10 12. 06. 2015 20:49 — Editoval Brano (12. 06. 2015 20:54)

Re: elipsa vepsaná trojúhelníku - konstrukce

#11 15. 06. 2015 11:10 — Editoval vanok (15. 06. 2015 11:10)

Re: elipsa vepsaná trojúhelníku - konstrukce

#12 15. 06. 2015 11:25

Re: elipsa vepsaná trojúhelníku - konstrukce

#13 15. 06. 2015 11:37

Re: elipsa vepsaná trojúhelníku - konstrukce

Zápatí