Matematické Fórum

vorel · 16. 06. 2015 00:47

Zdravím,

chci se zeptat jak mám poznat, kdy počítat rovnici pomocí separování proměnných a kdy pomocí vzorečku $e^{-\int_{}^{}a(x)dx}$

Děkuji

vorel · 16. 06. 2015 01:30

Případně ještě jaký je rozdíl mezi diferenciálními rovnicemi výše popsanými a lineárními diferenciálními rovnicemi I řádu.

Jde mi o to, že když dostanu příklad, jak poznat, který postup zvolit.

Rumburak · 16. 06. 2015 11:15

↑ vorel:
Zdravím také.

Rovnici

(1) $y' = f(x,y)$

řešíme separací proměnných tehdy, když funkce $f$ má tvar $f(x,y) = g(x)h(y)$ , kde $h(y) \ne 0$ .
Potom totiž můžeme na rovnici (1) aplikovat úpravu

$y' = f(x,y) = g(x)h(y)$
$\frac{y'}{h(y)} = g(x)$ ,
$\frac{y'}{h(y)} \d x= g(x) \d x$ ,
$\int\frac{y'\d x}{h(y)} = \int g(x) \d x$
(2) $\int\frac{\d y}{h(y)} = \int g(x) \d x$ ,

Dovedeme-li provést integraci na levé straně poslední rovnice, dostáváme

$H(y) = \int g(x) \d x + C$

a může se stát, že odtud budeme umět vyjádřit $y$ v závislosti na $x$ . Například když $h(y) = y$ ,
máme (2) ve tvaru

$\int\frac{\d y}{y} = \int g(x) \d x$ ,

kde levá strana je (až na integrační konstantu) je rovna $\ln |y|$ , takže

$\ln |y| = \int g(x) \d x + C$ ,

$|y(x)| = \exp $ \int g(x) \d x + C$$ .

Umět odhadnou správný postup vyžaduje mít teoretické znalosti a také projít určitou zkušeností.

vorel · 16. 06. 2015 13:07

A jak poznám zda je diferenciální rovnice lineární?

Rumburak · 16. 06. 2015 14:09

↑ vorel:
Na to je definice. Lineární rovnice má tvar $Ay = P$ , kde $P$ nezávisí na $y$ a diferenciální
operátor $A$ je lineární, tj. splňuje podmínky

(1) definiční obor $D_A$ operátoru $A$ je lineární prostor (nad tělesem $T$ reálných či komplexních čísel -
podle toho, jak obecnou teorii chceme dostat),

(2) pro libovolná $u, v \in D_A$ je $A(u + v) = Au + Av$ ,

(3) pro libovolná $u \in D_A , \lambda \in T$ je $A(\lambda u) = \lambda Au$ ,