Matematické Fórum

Kubinna · 22. 06. 2015 13:55

Zdravím,

mám vypočítat diferenciální rovnici :
$y^{'}+xy = xy^3$ pro $y(1) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Pokud rovnici upravim na tvar :
$y^{'}= x(y^3-y)$
proto usuzuji že je separovatelna:
$\frac{dy}{dx}=x(y^3-y)$
upravim:
$\frac{dy}{(y^3-y)}=xdx$
zintegruju:
$\frac{ln(y^2-1)}{2}-ln(y)+ C= \frac{x^2}{2}+C$
poté již nevím jak dál, protože mi tam přebývá ln(y), aby mi vyšel stejný výsledek jako ve wolframu...
Je tato rovnice separovatelna? Jak se řeší? :)

Děkuji za pomoc :)

Jj · 22. 06. 2015 14:10 — Editoval Jj (22. 06. 2015 14:10)

↑ Kubinna:

Dobrý den.

Řekl bych, že jste integroval správně, jen chybí absolultní hodnoty a jedna konstanta je navíc:

$\frac{\ln |y^2-1|}{2}-\ln |y|= \frac{x^2}{2}+C$

$\ln |y^2-1|-\ln y^2= x^2+C_1$

$\ln \frac{|y^2-1|}{y^2}= x^2+C_1$

atd.

Al1 · 22. 06. 2015 14:19 — Editoval Al1 (22. 06. 2015 14:36)

↑ Kubinna:
Zdravím,

konstanty sloučíme, stačí jedna napravo

$\frac{ln|y^2-1|}{2}-ln|y|= \frac{x^2}{2}+C_{1}$

Úprava levé strany

$\frac{1}{2}\big(\ln|y^2-1|-2\ln|y|\big)=\frac{1}{2}\ln \frac {|y^2-1|}{y^{2}}=\frac{1}{2}\ln \bigg|1-\frac{1}{y^{2}}\bigg|$
Dále
$\frac{1}{2}\ln \bigg|1-\frac{1}{y^{2}}\bigg|=\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{2}C\nl \ln \bigg|1-\frac{1}{y^{2}}\bigg|=\ln \mathrm{e}^{x^{2}+C}$

Edit: Kolega Jj byl rychlejší, svou odpověď ale ponechám, když už jsem to naťukal do počítače. :-)

vanok · 22. 06. 2015 14:24

Ahoj ↑ Jj:,
Pises, ze $y(1) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .
Otazka: je mozne najst riesenie definovane pre x=1?

Jj · 22. 06. 2015 14:51

↑ vanok:

Ahoj, no - to teď nevím. Teď musím odejít, snad později.

vanok · 22. 06. 2015 14:57

Ahoj ↑ Jj:,
Prepac to je otazka pre ↑ Kubinna:

Matematické Fórum

#1 22. 06. 2015 13:55

Diferenciální rovnice

#2 22. 06. 2015 14:10 — Editoval Jj (22. 06. 2015 14:10)

Re: Diferenciální rovnice

#3 22. 06. 2015 14:19 — Editoval Al1 (22. 06. 2015 14:36)

Re: Diferenciální rovnice

#4 22. 06. 2015 14:24

Re: Diferenciální rovnice

#5 22. 06. 2015 14:51

Re: Diferenciální rovnice

#6 22. 06. 2015 14:57

Re: Diferenciální rovnice

Zápatí