Matematické Fórum

aflotun · 24. 06. 2015 20:17

Dobry den,
nemohl jsem dokazat z definice vektoroveho prostoru nasled. vlastnosti:

4) $\forall x \in X: (-1)\cdot x=(-x)$

5) $\forall x, y, z \in X: [x+y=x+z \Rightarrow y=z]$

6) $(\forall \alpha \in \mathbb{R}) (\forall x, y \in X): [(\alpha x=\alpha y \wedge \alpha \not = 0) \Rightarrow x=y]$

7) $(\forall \alpha , \beta \in \mathbb{R}) (\forall x \in X): [(\alpha x=\beta x \wedge x \not = 0) \Rightarrow \alpha =\beta ]$

Predem dekuji za pomoci.
S pozdravem,
Aflotun.

Andrejka3 · 24. 06. 2015 20:36

↑ aflotun:
4) Pokud ano, tak co má dát $x+(-1)\cdot x$ ? Tak počítejte:
$x+(-1)\cdot x=$ a upravujete. Jaká úprava napadne jako první?

aflotun · 24. 06. 2015 22:10

↑ Andrejka3:

Treba vytkneme x? Pak opet to same!

aflotun · 24. 06. 2015 22:21

↑ Andrejka3:

4) Pokud ano, tak $x+(-1)\cdot x=0$ ma byt.
$x+(-1)\cdot x=x(1-1)=x\cdot 0=0$ a mame dukaz!

Dekuji mockrat.

Co s dalsimi?

Andrejka3

↑ aflotun:
5) z běžné zkušenosti, co byste s tou rovnicí dělal, kdyby to byla prostě jen čísla?
mám na mysli rci $x+y=x+z$ .

aflotun · 25. 06. 2015 06:41

↑ Andrejka3:
Myslite:

$x-x+y=z$ Na to mame pravo? Pokud ano:

$x+(-x)+y=z$
$0+y=z$
$y=z$

Andrejka3 · 25. 06. 2015 06:46

↑ aflotun:
Spíše takhle: Chceme se zbavit x, tak k obou stranám rovnice přičteme $-x$ , o kterém víme, že existuje. Rovnost tím neporušíme, protože sčítání je operace, takže $a\mapsto a+(-x)$ je fce - která vektoru přičítá vektor $-x$ . Předpokládali jsme rovnost vzorů, proto se rovnají obrazy:
$(-x)+x+y=(-x)+x+z$ . Nyní jen upravíte obě strany. Obdobně ostatní případy.

aflotun · 25. 06. 2015 07:59

↑ Andrejka3:

Je to zajimave.
Napadlo mi to, ale myslel, ze to bude platny, kdyz je uz dokazana tato vlastnost.

Co se da delat s dalsi?

Andrejka3 · 25. 06. 2015 14:55

↑ aflotun:
Ten první krok není okomentovaný, tak nevím, jak jste se k němu dostal.
6) vynásobit vhodným skalárem.
7) přičíst vhodný vektor.

vanok · 26. 06. 2015 15:23

Pozdravujem ↑ Andrejka3:,
Len mala poznamka
Tvoje dokazy su pochopitelne dobre.
Len pripominam, ze v pre buducych matematikov moze byt uzitocne pisat tie dokazy, tak ze sa vzdy pripomene pouzita axioma vektoroveho priestoru. ( akoze casto sa tie axiomy https://en.m.wikipedia.org/wiki/Vector_space pisu tak ze bez zmeny mozu byt chapane v ako v pravom vektorovom priestore, tak moze byt zaujimave ukazat ako by sa zmenili v lavom priestore...)

aflotun · 27. 06. 2015 12:21

↑ Andrejka3:, ↑ vanok:

Dekuji Vam mockrat za pomoci a prispevky.
Zdravi,
Aflotun.

Matematické Fórum

#1 24. 06. 2015 20:17

dokazat vlastnosti vektoroveho prostoru

#2 24. 06. 2015 20:36

Re: dokazat vlastnosti vektoroveho prostoru

#3 24. 06. 2015 22:10

Re: dokazat vlastnosti vektoroveho prostoru

#4 24. 06. 2015 22:21

Re: dokazat vlastnosti vektoroveho prostoru

#5 24. 06. 2015 22:33 — Editoval Andrejka3 (24. 06. 2015 22:34)

Re: dokazat vlastnosti vektoroveho prostoru

#6 25. 06. 2015 06:41

Re: dokazat vlastnosti vektoroveho prostoru

#7 25. 06. 2015 06:46

Re: dokazat vlastnosti vektoroveho prostoru

#8 25. 06. 2015 07:59

Re: dokazat vlastnosti vektoroveho prostoru

#9 25. 06. 2015 14:55

Re: dokazat vlastnosti vektoroveho prostoru

#10 26. 06. 2015 15:23

Re: dokazat vlastnosti vektoroveho prostoru

#11 27. 06. 2015 12:21

Re: dokazat vlastnosti vektoroveho prostoru

Zápatí