Matematické Fórum

Sherlock · 27. 06. 2015 17:41

Zdravím, chci dokázat $\frac{1}{(1+x)^{2}}+\frac{1}{(1+y)^{2}}\ge \frac{1}{1+xy}$ pro $x,y\in \mathbb{R}^{+}$

Zavedu substituci:
(1a) $x+y=s$
(1b) $xy=p$

a vznikne:
$\frac{s^{2}-2p+2s+2}{(1+s+p)^{2}}\ge \frac{1}{1+p}$

po roznásobení dostanu: $1+s^{2}p\ge 3p^{2}+2p$ ... jenže co teď s tím? pro libovolné $s,p$ to neplatí, platí to jen pro ty, pro které platí substituce...

Kdybych (1a) a (1b) řešil jako soustavu, dostanu $x^{2}-sx+p=0$ ... potřebuju, aby měla rovnice řešení, musí tedy platit $D^{2}=s^{2}-4p\ge 0$ , tedy $p\le \frac{s^{2}}{4}.....p\in (0,\frac{s^{2}}{4}]$

Pokud se nepletu, stačí tedy když dokážu nerovnici pouze pro krajní případy, a sice $p=0$ a $p=\frac{s^{2}}{4}$ ?

Al1 · 27. 06. 2015 19:41

↑ Sherlock:

Zdravím,

$1+s^{2}p\ge 3p^{2}+2p$ vydělím p (mohu, je to kladné číslo)

$s^{2}\ge 3p+2-\frac{1}{p}$

Resubstituce

$(x+y)^{2}\ge 3xy+2-\frac{1}{xy}\nl x^{2}+2xy+y^{2}\ge 3xy+2-\frac{1}{xy} \nl x^{2}+y^{2}\ge xy+2-\frac{1}{xy}$

Dále použiji platnou nerovnost
$x^{2}+y^{2}\ge 2xy$ a dostanu

$2xy>xy+2-\frac{1}{xy}$

A zbytek už vyřešíš sám. Mohlo by to tak být?

Sherlock · 27. 06. 2015 20:29

↑ Al1: Mohlo, ale spíš mě zajímá to moje řešení :-) Řešit to jen pro krajní případy $p=0$ a $p=\frac{s^{2}}{4}$ .

Al1 · 28. 06. 2015 08:15

↑ Sherlock:

Vzhledem k podmínkám $x,y\in \mathbb{R}^{+}$ nemůže platit, že $p=0$ . A pokud $p=\frac{s^{2}}{4}$ , pak je diskriminat roven nule a neřešíme nerovnost pro původní podmínky.

BakyX · 28. 06. 2015 17:47 — Editoval BakyX (28. 06. 2015 17:48)

$1+s^{2}p\ge 3p^{2}+2p$

$s^2 \ge 4p$ , stačí nerovnosť dokázať pre $s^2=4p$ . Vtedy je to $(p-1)^2 \ge 0$

vanok · 29. 06. 2015 18:54 — Editoval vanok (29. 06. 2015 18:55)

Otazka, da sa tato nerovnost ↑ Sherlock:, zovseobecnit?Napr. takto
$\frac{1}{(1+x)^{2}}+\frac{1}{(1+y)^{2}}+\frac 1{(1+z )^2}\ge \frac{1}{1+xyz }$ pre $x,y,z\in \mathbb{R}^{+}$ .

sugyman · 02. 07. 2015 23:24

Myslím, že dala.
Využiju nerovnosti: $\frac{1}{(1+a)^{2}}+\frac{1}{(1+b)^{2}}+\frac 1{(1+c )^2}+\frac 1{(1+d )^2}\ge 1$ pro $abcd=1$ , viz prase knihovna
Tu upravím na nerovnost: $\frac{1}{(1+x)^{2}}+\frac{1}{(1+y)^{2}}+\frac 1{(1+z )^2}+\frac 1{(1+\frac{1}{xyz} )^2}\ge 1$
$\frac{1}{(1+x)^{2}}+\frac{1}{(1+y)^{2}}+\frac 1{(1+z )^2}\ge 1-\frac {(xyz)^2}{(xyz+1 )^2}$
Stačí tedy dokázat : $1-\frac {(xyz)^2}{(xyz+1 )^2}\ge \frac{1}{1+xyz }$
Neboli: $1-\frac {p^2}{(p+1 )^2}\ge \frac{1}{1+p } \Rightarrow p^2+1+2p-p^2\ge p+1$ což platí.