Matematické Fórum

sitatunga

Ahoj, mohla bych poprosit o kontrolu důkazu takto zadané nerovnosti: Pro $\sum_{i=1}^n\alpha_i=1, \alpha_i>0$ a $\sum_{i=1}^n\beta_i=1, \beta_i>0$ platí $\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n\sqrt{\alpha_i^2+\beta_i^2}\cdotp\sqrt{1-\tfrac{\alpha_i^2+\beta_i^2}{4}}\leq 1.$

Postupovala jsem:
Platí $\frac{1}{2}\sqrt{\alpha_i^2+\beta_i^2}\cdotp\sqrt{1-\tfrac{\alpha_i^2+\beta_i^2}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{(\alpha_i^2+\beta_i^2)-\tfrac{(\alpha_i^2+\beta_i^2)^2}{4}}\leq\frac{1}{2}\sqrt{\alpha_i^2+\beta_i^2}\leq\frac{1}{2}\bigg(\sqrt{\alpha_i^2}+\sqrt{\beta_i^2}\bigg)=\frac{1}{2}\bigg(\alpha_i+\beta_i\bigg).$
Proto $\tfrac{1}{2}\sum_{i=1}^n\sqrt{\alpha_i^2+\beta_i^2}\cdotp\sqrt{1-\tfrac{\alpha_i^2+\beta_i^2}{4}}\leq\tfrac{1}{2}\sum_{i=1}^n (\alpha_i+\beta_i) =\tfrac{1}{2}\bigg(\sum_{i=1}^n \alpha_i+\sum_{i=1}^n \beta_i\bigg)=\tfrac{1}{2}\cdotp (1+1)= 1.$

Může být důkaz udělán takto, nebo se to dá dokázat i nějak líp?

Bati · 02. 07. 2015 21:34

Ahoj,
zdá se mi to ok. Vzhledem k tomu, že tvůj důkaz stojí na 2 jednoduchých odhadech
$\sqrt{1-A^2}\leq1$ ,
$A^2+B^2\leq(A+B)^2$ ,
myslím, že to líp nepůjde.

sitatunga · 02. 07. 2015 22:13

děkuju moc

Matematické Fórum

#1 02. 07. 2015 20:41 — Editoval sitatunga (02. 07. 2015 20:42)

Důkaz nerovnosti

#2 02. 07. 2015 21:34

Re: Důkaz nerovnosti

#3 02. 07. 2015 22:13

Re: Důkaz nerovnosti

Zápatí