Matematické Fórum

aflotun · 06. 07. 2015 20:01

Dobrý den,
nemohl jsem vyřešit okrajovou úlohu (nevím, jestli tato úloha patří sem, v oddílu "úvod do studia" nikdo nezareagoval):

$-u''(x)+g(u(x))=f(x) \ pro \ x\in (0,1), u(0)=u(1)=0,$

kde $f \in C(\langle 0,1 \rangle )$ a funkce $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ je lipschitzovsky spojitá na $\mathbb{R}$ , tzn. že

$(\exists q \ge 0) (\forall \ t,s \in \mathbb{R}): \ |g(t)-g(s)|\le \ q|t-s|.$

Buď nyní $v \in C(\langle 0,1 \rangle )$ libovolná (pevně zvolená) funkce a hledejme funkci $u \in C^2(\langle 0,1 \rangle )$ , která řeší lineární okrajovou úlohu

$-u''(x)+g(v(x))=f(x) \ pro \ x\in (0,1), u(0)=u(1)=0.$

Lze se přesvědčit, že jediným řešením je funkce

$u(x)= \int_{0}^{1}K(x,t)(f(t)-g(v(t)))dt,$

kde

$K(x,t)=(1-x)t \ pro \ 0\le t \le x \le 1,$

$K(x,t)=x(1-t) \ pro \ 0\le x < t \le 1.$

Předem děkuji za pomoci.
Aflotun.

Rumburak

↑ aflotun:

Ahoj.

Nevím, zda jsem dotaz pochopil správně. Pokud jde o to vyřešit úlohu

$-u''(x)+g(v(x))=f(x)$ pro $x\in (0,1), u(0)=u(1)=0$

při stanovených funkcích $f, g, v$ , pak příslušnou dif. rovnici můžeme přepsat do tvaru

$u''(x) = g(v(x)) - f(x)$

a řešit ji postupnými integracemi např. takko:

$u'(s) = \int_0^s $g(v(t)) - f(t)$ \d t + A$ ,

(1) $u(x) = \int_0^x \int_0^s $g(v(t)) - f(t)$ \d t \d s + Ax + B$ ,

kde integrační konstanty $A, B$ volíme tak, aby byly splněny okrajové podmínky $u(0)=u(1)=0$ .

Cílem tedy je: pro nalezená $A, B$ vyjádřít (1) ve tveru

(2) $u(x)= \int_{0}^{1}K(x,t)(f(t)-g(v(t))) \d t$ ,

kde $K(x,t)$ je definováno v zadání úlohy.

Připadá mi, že by mohlo pomoci aplikovat v (1) metodu per prtes.

Matematické Fórum

#1 06. 07. 2015 20:01

okrajová úloha

#2 24. 08. 2015 14:45 — Editoval Rumburak (24. 08. 2015 15:44)

Re: okrajová úloha

Zápatí