Matematické Fórum

xstudentíkx · 17. 07. 2015 14:39

Ahoj,

řešila jsem jednu úlohu více způsoby a vyšly mi rozdílné výsledky. Bohužel nevím, který z nich je špatný.

Dejme tomu, že jsem chtěla zjistit kolik je permutací na sedmi prvcích s přesně třemi pevnými body.

Zde je řešení z jedné prezentace:

A zde je moje řešení, které jsem už viděla také někde na internetu v obecném podání.

3 prvky ze 7 mohu vybrat 35 způsoby. Mám dané 3 pevné body, tudíž na první nepevný bod mám 7-3-1 možností, pro druhý nepevný bod mám 7-3-2 možností, pro třetí nepevný bod mám jednu možnost a ten čtvrtý tedy bude dán na to zbylé místo. Obecně to vypadá takto: ${n\choose\ k}(n-k-1)!$ což mi dává šest a po vynásobení 35 dostávám 210 možností.

Na svém postupu nevidím nic špatného, ten z té prezentace dává pro další hodnoty správné výsledky, ale tento se mi nějak nezdá, bohužel jsem však nezjistila co je tam špatně.

vanok · 17. 07. 2015 15:53 — Editoval vanok (17. 07. 2015 17:43)

Ahoj,
tvoja myslienka urcit 3 pevne body je dobra.
Potom, treba pre 4 zvysne prvky najst vsetky permutacie pre ktore neexistuje ziadny pevny bod.
prva metoda ( mozna v tomto cviceni) je napisat vsetky permutacie 4 prvkov : je ich 4!=24 a vylucit vsetki co nemaju pevny bod.... to ti da 9 vhodnych permutacii. To ti umozni odpovedat na tvoju otazku.
Vseobecne najst vsetki permutacie (derangements) ktore nemaju pevny bod, sa da aj z trochu teorie, trochu naznacenej v tvoje presentacii. (Ale zaujima ta to podrobnejsie? Mozno je lepsie pockat na vysoku skolu.)

xstudentíkx · 17. 07. 2015 17:13

↑ vanok:

Děkuji.

Na permutace, které nemají pevný bod mohu použít rovnou vzorec $s(n)=n!(1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+...+(-1)^{n}\frac{1}{n!})$ , což mi dává skutečně devět. Používám tento vzorec, ale chtěla jsem zkusit na to přijít i jiným způsobem a vychází mi tam místo devíti šest. Například pro k=4, dostávám identické výsledky. Správně je tedy devět, ale kde je tedy ta chyba v mém postupu?

Ale zaujima ta to podrobnejsie?

Ano, určitě zajímá. Však i toto dělám z vlastní vůle :)

vanok · 17. 07. 2015 18:03 — Editoval vanok (17. 07. 2015 22:26)

↑ xstudentíkx:,
Vsak ked uz napises vsetki permutacie a vylucis tie nevhodne ostane ti presne 9.
Za predpokladu ze 5,6,7 su pevne body....
$(1,2,3,4)\to (1,2,3,4)$ nevyhovuje (4 pevne body)
$(1,2,3,4)\to (2,1,4,3)$ vyhovuje atd treba prestudovat vsetkych 24.

Vseobecny dokaz (skor uroven vysoka skola) pouziva princip exclusie - inclusie, alebo menej znamy "Pascal-ov inverzny vzorec".( to sa da najst aj cez google) alebo tu https://mikespivey.wordpress.com/2014/0 … ngements3/

Tvoja chyba je dokonale vysvetlena koolegom ↑ zdenek1:.

zdenek1 · 17. 07. 2015 21:47

↑ xstudentíkx:

Mám dané 3 pevné body, tudíž na první nepevný bod mám 7-3-1 možností, pro druhý nepevný bod mám 7-3-2 možností,

tohle je ale špatně.
Vezmi si konkrétně tvůj příklad 1 - - 4 - 6 -
na první nepevný bod (2. pozice) máš skutečně 3 možnosti (3,5,7)
vybereš jednu, např. 3. Nyní máš
1 3 - 4 - 6 -
Kolik je možností na 3. pozici? Ty tvrdíš, že 2. Já vidím 3.

xstudentíkx · 18. 07. 2015 11:01

↑ vanok:

Děkuji už je mi to zřejmé.

↑ zdenek1:

Děkuji, pokud však místo 3 vyberu například 5, tak dostanu

1 5 - 4 - 6 - a na třetí pozici mám pouze dvě možnosti, ale na 5. pozici bych měla opět 3, ať vyberu cokoliv, tak na dvou pozicích budu mít výběr ze 2 čísel a na jedné ze 3. Asi bude lepší používat vzorec, který je zde ↑ xstudentíkx:

Matematické Fórum

#1 17. 07. 2015 14:39

Permutace

#2 17. 07. 2015 15:53 — Editoval vanok (17. 07. 2015 17:43)

Re: Permutace

#3 17. 07. 2015 17:13

Re: Permutace

#4 17. 07. 2015 18:03 — Editoval vanok (17. 07. 2015 22:26)

Re: Permutace

#5 17. 07. 2015 21:47

Re: Permutace

#6 18. 07. 2015 11:01

Re: Permutace

Zápatí