Matematické Fórum

livia · 04. 08. 2015 13:02

Zdravím, potrebovala by som poradiť s nasledovným príkladom: Rozhodnite o konvergencii/ divergencii nevlastného integrálu \int_{0}^{1}\frac{arccos(x)}{ln(x) }dx. Je nevlastný kvôli obom hraniciam, preto by sme mali začať rozdelením na dva integrály, ktoré sú nevlastné už len kvôli jednej z hraníc, napr.: \int_{0}^{1}\frac{arccos(x)}{ln(x) }dx=\int_{0}^{0.5}\frac{arccos(x)}{ln(x) }dx+\int_{0.5}^{1}\frac{arccos(x)}{ln(x) }dx. Skúšala som limitné porovnávacie kritériu na obidva integrály, ale ani pri jednom sa mi nepodarilo dospieť k použiteľnému výsledku. Podľa pc je konvergentný, ale neviem, ako to dokázať. Ďakujem za pomoc.

Rumburak · 04. 08. 2015 13:45

↑ livia:

Ahoj.

Pokud jde o integrál $\int_{0}^{1}\frac{\arccos(x)}{\ln(x) } \d x$ , tak limita integrandu v nule zprava je 0 ("pí půl děleno minus nekonečnem").

V jedničce zleva jde o typ "nula děleno nulou" . Tuto limitu nutno spočítat. Vyjde-li vlastní, pak inrtegrál konverguje.
Ne-li, potom je potřeba použít něklerou jemnější metodu.

Brano · 04. 08. 2015 13:59

v $x\to 1^-$ vyjde limita $-\infty$ ale skor ako nejake porovnavacie kriterium, by som urobil substituciu $x=\cos t$ potom
$\int_p^1\frac{\text{arccos }x}{\ln x}dx=\int_{\text{arccos }p}^0\frac{-t\sin t}{\ln\cos t}dt$ a uz nam staci, ze
$\lim_{t\to 0}\frac{-t\sin t}{\ln\cos t}=2$ a teda konverguje.

livia · 04. 08. 2015 20:58

Teda, aby sme dokázali konvergenciu nevlastného integrálu, stačí ukázať, že limita z integrandu pre x idúce k problémovému číslu, je vlastná? A keď sa to podarí, tak môžem povedať, že konverguje?
Toto pravidlo nepoznám, všetko sme riešili len porovnávacím limitným kritériom, prípadne, kde sa dalo, výpočtom.

A ešte k tej hranici nula- keďže mi limita z integrandu vyjde konečná pre x idúce k nule, tak táto hranica nespôsobuje, že je to nevlastný integrál? Keby hranice boli napr. od 0 po 0,5, tak by nebol nevlastný? Myslela som, že je nevlastný, kvôli každému číslu z integračného intervalu, ktoré sa z hľadiska definičného oboru nesmie dosadiť do funkcie.
Ďakujem za spresnenie.

Brano · 05. 08. 2015 20:28 — Editoval Brano (05. 08. 2015 20:30)

ono ak plati, ze limita funkcie je vlastna v nejakom bode, tak je na okoli toho bodu ta funkcia ohranicena a teda integral vobec nieje nevlastny cize vobec konvergenciu nemusis dokazovat lebo vlasne integraly trivialne konverguju - to je pripad x=0
presnejsie povedane je vlastny na nejakom okoli 0 kde sa nenachadza iny problematicky bod - teda presne ako pises, keby ten integral bol iba od 0 po 0,5 tak je "cely" vlastny

v pripade x=1 ta substitucia prevedie nevlastny integral na vlastny integral ktory teda konverguje cize aj povodny musi konvergovat

Matematické Fórum

#1 04. 08. 2015 13:02

Konvergencia nevlastného integrálu

#2 04. 08. 2015 13:45

Re: Konvergencia nevlastného integrálu

#3 04. 08. 2015 13:59

Re: Konvergencia nevlastného integrálu

#4 04. 08. 2015 20:58

Re: Konvergencia nevlastného integrálu

#5 05. 08. 2015 20:28 — Editoval Brano (05. 08. 2015 20:30)

Re: Konvergencia nevlastného integrálu

Zápatí