Matematické Fórum

Flaky · 06. 08. 2015 15:36 — Editoval Flaky (06. 08. 2015 15:40)

Dobrý den,

měl bych dotaz ohledně řešení limit pomocí Taylorova polynomu. Konkrétně, by mě zajímalo, když dosazuji Taylorův rozvoj za nějakou funkci, tak jak poznám, jak moc ji mám rozvinout.

Například v tomto případě $\lim_{x\to0}cos(x)-e^{-x^{2}/2}/x^{4}$ mi je jasné, že funkci cos(x) rozvineme až do členu s $x^{4}$ a funkci $e^{-x^{2}/2}$ taktéž kvůli $x^{4}$ ve jmenovateli.

Je tedy pravidlem, že rozvíjíme až do nejvyšší mocniny v limitě?
Co kdyby ve jmenovateli místo čtvrté mocniny byla třeba druhá odmocnina z $x^{3}$ ?

Brano · 06. 08. 2015 18:58 — Editoval Brano (07. 08. 2015 18:17)

ak poznas peanov tvar zvysku, tak ho mozes vzdy pouzit a uvidis ci to co si dosadil stacilo, alebo nie

napr.: $\cos x = 1-\frac{x^2}{2}+o(x^3)$ a $e^{-x^2/2}=1-x^2/2+o(x^3)$ a teda
$\frac{\cos x-e^{-x^2/2}}{x^4}=\frac{o(x^3)}{x^4}=\frac{o(1)}{x}$ - co je podiel ohranicenej funkcie a x-u, cize neurcity vyraz a z neho limitu nezistis (EDIT: teda presnejsie povedane o(1) je funkcia co pre x->0 konverguje k 0, ale to stale nestaci), teda vies, ze si dal asi malo clenov. ak pridas este jeden v obidvoch scitancoch, tak dostanes
$\frac{\cos x-e^{-x^2/2}}{x^4}=\frac{-x^4/12+o(x^5)}{x^4}=-\frac{1}{12}+o(x)$ a to vies ze konverguje k -1/12 cize mas vysledok

Matematické Fórum

#1 06. 08. 2015 15:36 — Editoval Flaky (06. 08. 2015 15:40)

Taylorův polynom - limity

#2 06. 08. 2015 18:58 — Editoval Brano (07. 08. 2015 18:17)

Re: Taylorův polynom - limity

Zápatí