Matematické Fórum

livia · 11. 08. 2015 08:13

Zdravím, narazila som na príklad: Vypočítajte objem rotačného telesa, ktoré vznikne rotáciou plochy ohraničenej krivkami $y=x+4$ , $y=x^{2}+4x$ okolo osi x.
Zadanie vyzerá ľahko, obrázok je jednoduchý, aj hranice vyjdu pekné -4 a 1.
//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-08/72995_graff.png
Použijem vzorec $V=\pi \int_{a}^{b} f(x)^2- g(x)^2 dx$ . Ale po vypočítaní mi objem vychádza nula $V=\pi \int_{-4}^{1} (x+4)^2- (x^2+4x)^2 dx=0$ . Ale to predsa nemôže byť.
Asi to súvisí s tým, že je časť tej plochy pod osou x a vzorec je vytvorený pre oblasti ohraničené nezápornými krivkami. Pomohlo by, keby sme oblasť rozdelili na viac častí alebo niečo podobné? (Ale ako by sme to rozdelenie na viac častí zdôvodnili, keď je to jednoduchá oblasť?)
Treba si pri používaní toho vzorca dávať na niečo pozor, podľa toho, ako vyzerá nakreslená oblasť? Lebo teraz si nie som istá, kedy môžem výsledok považovať za dobrý a kedy si dať pozor, či tam nie je takýto zádrhel. Ďakujem

Eratosthenes · 11. 08. 2015 10:32

ahoj ↑ livia:,

počítáš skutečně rotaci jenom plochy nad osou ale počítáš špatně. Napovím: (A-B)^2=...?

Jj · 11. 08. 2015 11:13 — Editoval Jj (11. 08. 2015 11:19)

↑ livia:

Dobrý den.

Mi to připadá, že rotací uvedené plochy vznikne rotační těleso, jehož osový řez bude vypadat takto:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Takže bych řekl, rozdělit integraci $\int_{-4}^{-1} + \int_{-1}^{0}+\int_{0}^{1}$

Brano · 11. 08. 2015 19:45 — Editoval Brano (11. 08. 2015 19:53)

↑ livia: ja by som este chcel podotknut, ze zasadny problem je v tom, ze nie je jasne co myslis tym rotacnym telesom ktore vznika rotaciou plochy danou dvoma funkciami - jedna ma objem pripocitavat a jedna odpocitavat? ak ano tak ktora je ktora? - b.t.w. to by viedlo na vysledok co vysiel tebe
alebo obe funkcie objem pripocitavaju? - to by viedlo na to co pise ↑ Jj:

ale hint ↑ Eratosthenes: podla mna nevedie k nicomu rozumnemu - naznacujes ze sa ma jedna z fukcii "namapovat" sa os x - druha adekvatne deformovat a tak to zrotovat?

treba si to podla mna premysliet na jednoduchsom priklade - mame $f(x)=1$ a $g(x)=-2$ pre $x\in[0,1]$ co vznikne rotaciou:

a) valec s polomerom 2 ↑ Jj:
b) valec s polomerom 2 z ktoreho je vyrazany valec s polomerom 1 ↑ livia:
b*) to iste ale so zapornym objemom
c) valec s polomerom 3 ↑ Eratosthenes:

sukovanej · 12. 08. 2015 14:50

Zdravím,

když jsme tohle dělali ve škole, tak jsme předpokládali, že počítáme s obrazcem vymezeným osou x, body, které ji protínají a funkcemi nad osou x : $f(x), f(x) > 0$ . Potom by to mělo být

$\pi ( \int_{-4}^{1} (x+4)^2 dx - \int_{0}^{1}(x^2 + 4x)^2 dx )$

protože odečítáte objem vytvořený rotací $x^2 + 4x, x \in \langle 0; 1 \rangle$ od objemu z rotace funkce $x + 4, x \in \langle -4; 1 \rangle$ . Ten už vyjde určitě nenulový. :)

Brano · 13. 08. 2015 00:50

↑ sukovanej:
az na to, ze v tomto pripade je jedna funkcia nad osou a druha je cistocne nad a ciastocne pod - nehovoriac, ze este po zrotovani tam vznikne novy samopriesek

nuz ale je to na OP (↑ livia:) aby specifikovala interpretaciu aku potrebuje - mnohe maju dobry zmysel, len si treba vybrat

livia · 13. 08. 2015 15:42

↑ Jj: Tiež ma toto napadlo. Treba si to asi celé preklopiť nad os x-ovú a predstaviť prierez telesa, ktorý nám rotáciou tej plochy môže vzniknúť.

livia · 13. 08. 2015 15:43

↑ Eratosthenes: Vôbec nerozumiem tej nápovede :/

livia · 13. 08. 2015 15:48

↑ Brano: Bolo to len takéto zadanie. Plocha ohraničená tými krivkami začne rotovať okolo osi x. Tým vznikne nejaké teleso a jeho objem máme vyrátať. Ja som to len nahrubo dosadila do toho vzorca, ale keď tá plocha zasahuje pod os x, tak sa to tak asi nesmie.
Vždy sme to dosadzovali tak, že f(x) bola krivka, ktorá tú plochu ohraničuje zhora a g(x) krivka, ktorá plochu ohraničuje zdola. Som si to tak zmechanizovala a aj tu to len proste dosadila. Keby bolo celá plocha nad osou x, tak to vychádza, ale zrejme, keď zasahuje pod os x, tak sa nad tým treba zamyslieť, ako asi vyzerá teleso, ktoré tým vznikne. Nie to tam len tak hlúpo nahádzať.

Matematické Fórum

#1 11. 08. 2015 08:13

Objem rotačného telesa (rotácia okolo osi x)

#2 11. 08. 2015 10:32

Re: Objem rotačného telesa (rotácia okolo osi x)

#3 11. 08. 2015 11:13 — Editoval Jj (11. 08. 2015 11:19)

Re: Objem rotačného telesa (rotácia okolo osi x)

#4 11. 08. 2015 19:45 — Editoval Brano (11. 08. 2015 19:53)

Re: Objem rotačného telesa (rotácia okolo osi x)

#5 12. 08. 2015 14:50

Re: Objem rotačného telesa (rotácia okolo osi x)

#6 13. 08. 2015 00:50

Re: Objem rotačného telesa (rotácia okolo osi x)

#7 13. 08. 2015 15:42

Re: Objem rotačného telesa (rotácia okolo osi x)

#8 13. 08. 2015 15:43

Re: Objem rotačného telesa (rotácia okolo osi x)

#9 13. 08. 2015 15:48

Re: Objem rotačného telesa (rotácia okolo osi x)

Zápatí