Matematické Fórum

stereo-total-music · 13. 08. 2015 15:32

Mějme funkci $F(x,y)$ se spojitými druhými derivacemi. Potom jsem si dokázal, že platí:
$\frac{\partial \left ( \frac{\partial F(x,y)}{\partial y}\right )}{\partial x}=\frac{\partial \left ( \frac{\partial F(x,y)}{\partial x}\right )}{\partial y}=f(x,y)$
a taky, že platí:
$\int_{a}^{b}\left ( \int_{c}^{d}f(x,y) dx\right )dy=\int_{c}^{d}\left ( \int_{a}^{b}f(x,y) dy\right )dx$

Hledám důkaz, že tato rovnost prohozeného určitého integrálu platí také pro integrandy $x\cdot y\cdot f(x,y)$ a $x\cdot f(x,y)$ a $y\cdot f(x,y)$ . Může mi někdo pomoci?

jelena · 16. 08. 2015 09:44

Zdravím,

jaký efekt má (nebo se očekává) od tohoto důkazu? Já si představuji, že lze jen zavést nové označení - např. $x\cdot y\cdot f(x,y)=h(x,y)$ a pro toto již důkaz máš - tak? Děkuji.

stereo-total-music · 16. 08. 2015 15:18

↑ jelena:
Zavedla jsi tedy rovnající se smíšené derivace $h(x,y)$ nové funkce $H(x,y)$ :
$x\cdot y\cdot f(x,y)=h(x,y)$
Předpokládáš tedy, že funkce $H$ má spojité druhé derivace. A teď jak to ověřit? :)

jelena · 16. 08. 2015 20:34

↑ stereo-total-music:

a tak, to je pravda, v úvodu takový předpoklad máš (ale po zavedení nového označení už předpoklad nejde použit). Tak zkusíme jinak - např.:
$\int_{a}^{b}\left ( \int_{c}^{d}xf(x,y) dx\right )dy=\int_{c}^{d}\left ( \int_{a}^{b}xf(x,y) dy\right )dx$

nalevo začít per partes, napravo jen vytknutí x před vnitřní integrál. Vede to někam? :-)

Brano · 16. 08. 2015 23:05 — Editoval Brano (20. 08. 2015 10:16)

↑ stereo-total-music:
ak $f$ je spojita tak aj $xf,\ yf,\ xyf$ budu tiez spojite - to je trivialne, nie?

PS: o zamene poradia integrovania si mozes pozriet este aj toto a este Fubiniho vetu

stereo-total-music · 19. 08. 2015 20:27

↑ jelena:
To mě právě nikam nenavedlo.

↑ Brano:
Dobrá, a vyplývá z toho, že jsou spojité i $\frac{\partial^2 H}{\partial x^2}$ a $\frac{\partial^2 H}{\partial y^2}$ ?

Brano · 20. 08. 2015 10:15 — Editoval Brano (20. 08. 2015 10:19)

↑ stereo-total-music:
no len zo spojitosti $f$ nie, ale to ani nepotrebujes na prehodenie poradia integrovania - ten predpoklad mas v podstate navyse a iba ti komplikuje uvahy o probleme

PS: opravil som linky v predchadzajucom prispevku - tak si ich pripadne skus pozriet; v tom prvom odkaze - uplne posledna veta, je to co ta zaujima a tam staci, ze $f$ je spojita (oblast mas jednoduchu - obdlznik, takze s tou nie je ziaden problem)

Matematické Fórum

#1 13. 08. 2015 15:32

důkaz rovnosti prohozeného určitého dvojného integrálu

#2 16. 08. 2015 09:44

Re: důkaz rovnosti prohozeného určitého dvojného integrálu

#3 16. 08. 2015 15:18

Re: důkaz rovnosti prohozeného určitého dvojného integrálu

#4 16. 08. 2015 20:34

Re: důkaz rovnosti prohozeného určitého dvojného integrálu

#5 16. 08. 2015 23:05 — Editoval Brano (20. 08. 2015 10:16)

Re: důkaz rovnosti prohozeného určitého dvojného integrálu

#6 19. 08. 2015 20:27

Re: důkaz rovnosti prohozeného určitého dvojného integrálu

#7 20. 08. 2015 10:15 — Editoval Brano (20. 08. 2015 10:19)

Re: důkaz rovnosti prohozeného určitého dvojného integrálu

Zápatí