Matematické Fórum

SM · 30. 08. 2015 21:46

Dobrý den, mám za úkol napsat Taylorův polynom 2. stupně funkce f v bodě (1,1), když vím, že na okolí bodu $(1,1,0)$ je rovnicí $e^z-xy+yz=0$ implicitně definovaná funkce dvou proměnných $z=f(x,y)$

Ověřil jsem existenci implicitně definované funkce:
$F(1,1,0)=1-1+0=0$
$\frac{\partial F}{\partial z}(x,y,z)=e^z+y=1+1=2$

potom jsem spočítal 1. derivace:
$\frac{\partial F}{\partial x}(x,y,z)=-y=-1$
$\frac{\partial F}{\partial y}(x,y,z)=-x+z=-1$

$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=-\frac{-y}{e^z+y}=\frac{1}{2}$
$\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-\frac{-x+z}{e^z+y}=\frac{1}{2}$

2. derivace:
$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y)=(\frac{y}{e^z+y})^{,}=\frac{y^,(e^z+y)-y(e^z+y^,)}{(e^z+y)^2}=\frac{\frac{1}{2}(1+1)-(1+1/2)}{4}=-\frac{1}{8}$
$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x,y)=(\frac{x-z}{e^z+y})^{,}=\frac{1(e^z+y)-(x-z)(e^z+y^,)}{(e^z+y)^2}=\frac{2-3/2}{4}=\frac{1}{8}$
$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y)$ mi ale nevychází.

Taylorův polynom by měl bypadat takhle:
$T_{2}(x,y)=\frac{1}{2}(x-y)+\frac{1}{2}(y-1)+\frac{1}{2}(-\frac{1}{8}(x-1)^2+\frac{1}{8}(x-1)(y-1)+??(y-1)^2)$

Prosím o kontrolu postupu (zvlášt u výpočtu 2. derivací) a radu s výpočtem 2. derivace podle y, děkuji.

Jj · 30. 08. 2015 23:18

↑ SM:

Zdravím. Řekl bych, že druhé derivace obecně nepočítáte správně. Je třeba respektovat, že z = f(x,y) (--> derivovat jako složenou funkci), že při derivaci podle jedné proměnné považujeme druhou za konstantu. Např. (pro názornost postupu podrobnější rozpis):

$\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x^2}=\left(\frac{y}{e^z+y}\right)^{'}_x=\frac{y'_x(e^z+y)-y(e^z\cdot z'_x+y'_x)}{(e^z+y)^2}=\frac{0\cdot (1+1)-(1\cdot 1/2+0)}{4}=-\frac{1}{8}$

$\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x \partial y}=\left(\frac{y}{e^z+y}\right)^{'}_y=\frac{y'_y(e^z+y)-y(e^z\cdot z'_y+y'_y)}{(e^z+y)^2}=\frac{1\cdot (1+1)-1(1\cdot 1/2+1)}{(1+1)^2}=\frac{2-3/2}{4}=\frac{1}{8}$

$\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial y^2}=\left(\frac{z-x}{e^z+y}\right)^{'}_y=\frac{(z'_y-x'_y)(e^z+y)-(z-x)(e^z\cdot z'_y+y'_y)}{(e^z+y)^2}=$

$=\frac{(1/2-0)(1+1)-(0-1)(1\cdot 1/2+1)}{(1+1)^2}=\frac{1 + 3/2}{4}=\frac{5}{8}$

Ovšem je třeba, abyste to podrobně zkontroloval (na to, že číselné výsledky jsou shodné s Vaším postupem, nic nedejte - jen náhoda).

SM · 31. 08. 2015 00:30

Děkuji za pomoc

Matematické Fórum

#1 30. 08. 2015 21:46

Taylorův polynom implicitně zadané funkce

#2 30. 08. 2015 23:18

Re: Taylorův polynom implicitně zadané funkce

#3 31. 08. 2015 00:30

Re: Taylorův polynom implicitně zadané funkce

Zápatí