Matematické Fórum

Frikulin1 · 02. 09. 2015 09:29

Zdravím, nevím si rady s následujícíma limitama:

$\lim_{x\to0}(\frac{1}{x}-\frac{1}{\sinh(x)})$

$\lim_{x\to\infty}(e^x\cdot \sin(\frac{1}{x}))$

Děkuji moc i za malou radu.

Freedy · 02. 09. 2015 12:23 — Editoval Freedy (02. 09. 2015 12:34)

Ahoj,

vztah $\text{sinh}(x) = \frac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}{2}$

$\frac{1}{x}-\frac{2}{\mathrm{e}^{x}-\frac{1}{\mathrm{e}^{x}}}=\frac{1}{x}-\frac{2\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{2x}-1}=\frac{\mathrm{e}^{2x}-1-2x\mathrm{e}^{x}}{x(\mathrm{e}^{2x}-1)}$
$\lim_{x\to0}\frac{\mathrm{e}^{2x}-1-2x\mathrm{e}^{x}}{x(\mathrm{e}^{2x}-1)}\Rightarrow \frac{0}{0}$
výraz je tedy typu 0/0, použijeme l'hospitalovo pravidlo:
čitatel: $(\mathrm{e}^{2x}-1-2x\mathrm{e}^{x})'=2\mathrm{e}^{2x}-2\mathrm{e}^{x}-2x\mathrm{e}^{x}$
jmenovatel: $(x\mathrm{e}^{2x}-x)'=\mathrm{e}^{2x}+2x\mathrm{e}^{2x}-1$
Tedy
$\lim_{x\to0}\frac{\mathrm{e}^{2x}-1-2x\mathrm{e}^{x}}{x(\mathrm{e}^{2x}-1)}=\lim_{x\to0}\frac{2\mathrm{e}^{2x}-2\mathrm{e}^{x}-2x\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{2x}+2x\mathrm{e}^{2x}-1}$
opět je to výraz typu 0/0, použijeme L'hospitalovo pravidlo znovu:
$\lim_{x\to0}\frac{2\mathrm{e}^{2x}-2\mathrm{e}^{x}-2x\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{2x}+2x\mathrm{e}^{2x}-1}=\lim_{x\to0}\frac{2\mathrm{e}^{x}(-x + 2\mathrm{e}^{x} - 2)}{4\mathrm{e}^{2x}(x+1)}$
Po dosazení lze již vidět, že výsledná limita je
$\lim_{x\to0}\frac{2\mathrm{e}^{x}(-x + 2\mathrm{e}^{x} - 2)}{4\mathrm{e}^{2x}(x+1)}=\frac{0}{1}=0$

2)
$\lim_{x\to\infty }\bigg(\mathrm{e}^{x}\cdot \sin \frac{1}{x}\bigg)$
Tento výraz lze rovněž zapsat jako:
$\lim_{x\to\infty }\bigg(\mathrm{e}^{x}\cdot \sin \frac{1}{x}\bigg)=\lim_{x\to\infty }\frac{\sin \frac{1}{x}}{\mathrm{e}^{-x}}$
Dostáváme opět výraz 0/0 >>> L'hospitalovo pravidlo
$\lim_{x\to\infty }\frac{\sin \frac{1}{x}}{\mathrm{e}^{-x}}=\lim_{x\to\infty }\frac{-\frac{\cos \frac{1}{x}}{x^2}}{-\mathrm{e}^{-x}}=\lim_{x\to\infty }\frac{\cos \frac{1}{x}}{x^2\mathrm{e}^{-x}}$
Tato limita je v podstatě to samé jako:
$\lim_{x\to\infty }\frac{\cos \frac{1}{x}}{x^2\mathrm{e}^{-x}}=\lim_{x\to\infty }\frac{\mathrm{e}^{^x}\cos \frac{1}{x}}{x^2}$
Nyní už stačí pouze aplikovat pravidlo součinu u limit a rozepsat si to jako:
$\lim_{x\to\infty }\frac{\mathrm{e}^{^x}\cos \frac{1}{x}}{x^2}=\lim_{x\to\infty }\frac{\mathrm{e}^{x}}{x^2}\cdot\lim_{x\to\infty }\cos \frac{1}{x}=\infty \cdot 1 = \infty$

Bati · 02. 09. 2015 17:14

Ahoj,
nebo pokud se ti nechce derivovat a víš, že $e^x=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}$ , můžeš počítat takto:
$\frac1x-\frac1{\sinh{x}}=\frac{\sinh{x}-x}{x\sinh x}=\frac{x+o(x^2)-x}{x^2+o(x^3)}\to 0$ .

Na to druhý stačí známý limity, protože $e^x\sin\tfrac1x=\frac{e^x}{x}\cdot\frac{\sin{\tfrac1x}}{\tfrac1x}\to\infty\cdot1$ .

Frikulin1 · 02. 09. 2015 17:33

Děkuju moc, za oba postupy.

Matematické Fórum

#1 02. 09. 2015 09:29

Limity hyperbolických funkcí

#2 02. 09. 2015 12:23 — Editoval Freedy (02. 09. 2015 12:34)

Re: Limity hyperbolických funkcí

#3 02. 09. 2015 17:14

Re: Limity hyperbolických funkcí

#4 02. 09. 2015 17:33

Re: Limity hyperbolických funkcí

Zápatí