Matematické Fórum

RadekF · 22. 09. 2015 21:29

Dobrý večer, potřebuji poradit jak řešit úlohu:

Vypočtěte inverzní fci k fci : $y=3^{2+ln(x-2)}$

Vím, že potřebuji vyjádřit x, ale nevím jak...
______________________________________

Ve škole jsme řešili příklad : $y=ln(2x-5)$ to jsme upravili na $e^{y}=e^{ln(2x-5)}$ a z toho $e^{y}=2x-5$ ( to zrušení logaritmu jsem nepochopil) a dále je to už jednoduché vyjádření.... tento příklad je podobný jako ten, se kterým si nevím rady, ale nedokážu to nijak použít... děkuji za vysvětlení.

Eratosthenes · 22. 09. 2015 22:05

ahoj ↑ RadekF:,

$x=3^{2+ln(y-2)}$
$ln x=ln 3^{2+ln(y-2)}$
$ln x= (2+ln(y-2)) \cdot ln 3$
.......

zdenek1 · 22. 09. 2015 22:07

↑ RadekF:

to zrušení logaritmu jsem nepochopil

to je základní vlastnost inverzních funkcí - totiž že se s "původní" funkcí vyruší. Tj. $e^{\ln x}=x$ a taky obráceně $\ln \mathrm{e}^{x}=x$

K příkladu:
1) eliminuješ exponenciálu - logaritmuješ příslušným logaritmem
$\log_3y=\log_3(3^{2+\ln(x-2)})$
$\log_{3}y=2+\ln (x-2)$
$\ln (x-2)=\log_{3}(y)-2$
2) zbavíš se přirozeného logaritmu
$x-2=\mathrm{e}^{\log_{3}(y)-2}$

RadekF · 23. 09. 2015 06:35

Děkuji moc za vysvětlení.

Al1 · 23. 09. 2015 07:53

↑ RadekF:

Zdravím,

při řešení předpisu inverzní fce je ovšem nutné vyřešit, zda je původní fce prostá. Pokud není, neexistuje k ní inverzní funkce. Součástí řešení je také určení definičního oboru a oboru hodnot původní i inverzní fce.

RadekF · 23. 09. 2015 08:22

↑ Al1: tak fce prostá to je, protože je pořád rostoucí

inverzní fce mi vyšla $y=e^{log_{3}(x)-2}+2$ a $D_{f^{-1}}=(0;\infty )\ldots H_{f^{-1}}=(-\infty ;\infty )$ je to tak ?

zdenek1 · 23. 09. 2015 08:34

↑ RadekF:
Ten $H_{f^{-1}}$ nebude dobře.

Jaký obor hodnot má funkce typu $y=a^x+b$ ?

RadekF · 23. 09. 2015 08:39

↑ zdenek1: tak $D_{f}=R \ldots H_{f}=(0;\infty )$ a když mám inverzní funkci , tak se to obrátí ne ?

RadekF · 23. 09. 2015 08:56 — Editoval RadekF (23. 09. 2015 09:03)

↑ zdenek1: +b znamená, že to bude posunuté na grafu ve směru osy y o 2

já jsem se v tom zamotal, nevím jestli mám posunout o 2 tu původní nebo tu inverzní...

ale mělo by teda být $H_{f^{-1}}=(2;\infty )$ ?

Al1 · 23. 09. 2015 10:01 — Editoval Al1 (23. 09. 2015 16:43)

↑ RadekF:

Shrnutí:

$f: y=3^{2+ln(x-2)}$ je rostoucí, tedy prostá. Existuje k ní fce inverzní.
Definiční obor: v předpisu je logaritmus, který je definován jen pro kladná čísla
$x-2>0$
$D_{f}=(2;\infty )=H_{f^{-1}}$

Obor hodnot -exponencilání fce tvaru $y=a^{x}$ má obor hodnot množinu kladných čísel.

$H_{f}=(0;\infty )=D_{f^{-1}}$

Obor hodnot můžeme určit z předpisu inverzní fce

$f^{-1}: y=e^{log_{3}(x)-2}+2$

Opět platí, že logaritmus je definován pro kladná čísla : $x>0$

$D_{f^{-1}}=(0;\infty )=H_{f}$

Rumburak · 23. 09. 2015 13:11

↑ RadekF:

Ahoj.

Při hledání inversní funkce k funkci $f$ můžeme postupovat i následovně.

Funkční předpis

(1) $y = f(x) , x \in D_f$ (v našem případě tedy $y=3^{2+\ln(x-2)} , x > 2$ )

vnímáme jako rovnici s neznámou $x \in D_f$ a hledáme všechna její řešení v závislosti na parametru $y$ .
Množina $H_f$ všech takových hodnot $y$ , pro něž uvažovaná rovnice má aspoň jedno řešení v $D_f$ , se nazývá
oborem hodnot funkce $f$ . Mohou zde nastat dva navzájem disjunktní případy:

I. Pro některou hodnotu $y \in H_f$ existuje v $D_f$ více než jedno řešení rovnice (1). Tento případ znamená,
že inversní funkce k $f$ neexistuje.

II. Případ I. nenastane, tedy pro každou hodnotu $y \in H_f$ existuje v $D_f$ právě jedno řešení rovnice (1).
Toto řešení $x$ - závislé na hodnotě parametru $y$ - je tedy funkcí parametru $y \in H_f$ . Tuto funkční závislost
nazýváme inversní funkcí k funkci $f$ .