Matematické Fórum

Kenniicek · 05. 10. 2015 21:16

Dobry vecer, mam tu jeden jednoduchy priklad, na ktorom by som si chcel overit spravnost mojich postupov a navyse vas v niecom poprosit, ako by ste postupovali a riesili to vy, vasim, popripade najjednoduchsim sposobom.
Zadanie znie: Zistite definicny obor funkcie, zistite ci je dana funkcia prosta a ak ano, tak najdite funkciu inverznu k danej funkcii a najdite definicny obor inverznej funkcie.
Funkcia vyzera takto: $\ln (2+\frac{1}{x})$

Definicny obor: $(-\infty ;-\frac{1}{2})\cup (0;\infty )$

Prostost:
$x_{1}\not =x_{2}$
$\frac{1}{x_{1}} \not =\frac{1}{x_{2}}$
$2+\frac{1}{x_{1}} \not =2+\frac{1}{x_{2}}$
$\ln (2+\frac{1}{x_{1}}) \not =\ln (2+\frac{1}{x_{2}})$
$f(x_{1})\not =f(x_{2})$
Z toho vyplyva, ze dana funkcia je prosta.
Drobny popis: v 2. a 4. kroku vychadzam z toho, ze linearna lomena funkcia a logaritmus su elementarne funckie a su proste.
Inverzna:
$y=\ln (2+\frac{1}{x})$
$e^{y}=2+\frac{1}{x}$
$e^{y}-2=\frac{1}{x}$
$y^{-1}=\frac{1}{e^{x}-2}$
Zatial je (snad) vsetko v poriadku, tu vsak pride mierny spor. Doteraz som bol nauceny tak, ze mozem urcite definicny obor inverznej funkcie z jej predpisu. Takze klasicky, ake x nemozem dosadit do toho zlomku. Na cvikach mi bolo povedane, ze tento postup nie je spravny a definicny obor inverznej funkcie musim urcovat ako obor hodnot povodnej funkcie. No nemyslim si, ze postup, ktory ucia je ten najstastnejsi (cez nasobne skladanie elementarnych funkcii, tym padom dosadzovanie definicneho oboru do najvnutornejsej, ziskanie oboru hodnot, dosadenie do 2. najvnutornejsej a tak dalej...).
Tak tu by som sa chcel opytat vas, ako by ste vy nasli obor hodnot povodnej funckie, najlepsie bez derivacii, ktore zatial "nevieme".
Moje napady su z definicie, ale to v tomto pripade nie je asi najstastnejsie riesenie alebo tentokrat skladanim funkcii. A to tak, ze linearna lomena funckia je klesajuca, zlozenia s linearnou funkciou, ktora je rastuca = funkcia klesajuca. Klesajuca funkcia zlozena s prirodzenym logaritmom, ktory je rastuci je znova klesajuca funkcia. Nasledne dosadim krajne body definicneho oboru, "prehodim" cisla v intervaloch, kedze povodna funkcia je klesajuca a vznikne mi obor hodnot: $\mathbb{R}\setminus \{\ln 2\}$

Vopred sa ospravedlnujem za takuto esej na noc -_- no neda mi to. Najviac by som vas chcel poprosit o vysvetlenie toho, preco nie je mozne urcit definicny obor inverznej funkcie priamo z jej predpisu, to je ten kamen urazu. Dakujem pekne za kazdu odpoved a prajem dobru noc :)

misaH · 05. 10. 2015 21:57

↑ Kenniicek:

Lebo obor hodnôt pôvodnej je definičný obor inverznej
...či?

Kenniicek

↑ misaH: Samozrejme, o to viac ma zaraza, ze ked najdem predpis inverznej funckie, tak z neho nemozem urcit definicny obor inverznej funkcie, ale musim ho urcit pomocou oboru hodnot povodnej funkcie.

Al1 · 05. 10. 2015 22:18

↑ Kenniicek:

Zdravím,

také jsem se setkal s požadavkem postupu určování oboru hodnot původní fce z jejího předpisu.
Zde by snad šel zvolit jednodušší postup

$\ln\bigg (2+\frac{1}{x}\bigg)=\ln\bigg( \frac{2x+1}{x}\bigg)$
Vnitří fce je lineární lomená s oborem hodnot $\mathbb{R}\setminus \{2\}$ , vnější fce pak má obor hodnot $H=\mathbb{R}\setminus \{\ln 2\}$

Kenniicek · 05. 10. 2015 22:27

↑ Al1:
Dakujem, na obor hodnot mi tato uprava nenapadla, no pri definicnom obore som ju pouzil. Na druhu stranu toto je len jeden konkretny priklad, mnoho dalsich bude nutne riesit tym zdlhavym postupom skladania funkcii, popripade ja radsej vyuzijem tu monotonnost. Mne to cviciaci odovodnil tym, ze ak budem urcovat definicny obor priamo z predpisu inverznej funkcie, tak sa tam moze dostat nejake cislo, ktore nepatri do oboru hodnot povodnej funkcie, co mi prislo trosku zvlastne a bol som zarazeny, ked mi tento postup zatrhol a dal by mi tak 1 bod za vysledok.

Kenniicek · 06. 10. 2015 20:56

Dozvedel som sa, ze dovod, preco sa nemoze hladat definicny obor inverznej funkcie priamo z jej predpisu je ten, ze napriklad pri povodnej funkcii sqrt(x) by to vyslo zle.

Matematické Fórum

#1 05. 10. 2015 21:16

Inverzna funkcia

#2 05. 10. 2015 21:57

Re: Inverzna funkcia

#3 05. 10. 2015 22:01 — Editoval Kenniicek (05. 10. 2015 22:02)

Re: Inverzna funkcia

#4 05. 10. 2015 22:18

Re: Inverzna funkcia

#5 05. 10. 2015 22:27

Re: Inverzna funkcia

#6 06. 10. 2015 20:56

Re: Inverzna funkcia

Zápatí