Matematické Fórum

janusz · 06. 10. 2015 22:05

Dobrý den,

mám dotaz ohledně následujícího příkladu.:

Pomocí transfrmace nezávisle proměných $u = xy; v=\frac{x}{y}$ najděte všechny fce dvou proměnných, splňujcí rovnici:
$x^{2}Z_{xx}+y^{2}Z_{yy} - 2xyZ_{xy} + xZ_{x} + yZ_{y} = 0$

Po všech derivacích, dosazení, úpravách atd mi z toho vypadlo

$Z_{vv}+\frac{1}{2v}Z_{v} = 0$

no a tady začíná problém, v postupu je jako výsledek téhle rovnice uvedeno $Z_{v}{(u,v)}=\frac{f_{(u)}}{\sqrt{v}}$ kde f je libovolná dif. fce jedné proměnné.

tento krok mi není jasný, může mi někdo poradit mezikrok mezi předposledním a posledním výsledkem?

Díky moc

Jj · 06. 10. 2015 23:25

↑ janusz:

Zdravím.

Řekl bych, že

$Z_{vv}+\frac{1}{2v}Z_{v} = 0\Rightarrow \frac{Z_{vv}}{Z_{v}}=-\frac{1}{2v}$

Teď integrace $\int \frac{Z_{vv}}{Z_{v}}\,dv=-\frac{1}{2}\int \frac{1}{v}\,dv$

$\ln |Z_{v}|=-\frac{1}{2}\ln |v|=\ln \frac{1}{\sqrt{v}}+f(u)$ ,

kde f(u) je uvedená libovolná funkce poměnné U. Ta tu vlastně hraje roli 'integrační konstanty' (nejen derivace konstanty, ale i derivace uvedené libovolné funkce proměnné u podle v je rovna 0. Tudíž přičtení jen libovolné konstanty by bylo nedostačující).

$\Rightarrow Z_v=\frac{e^{f(u)}}{\sqrt{v}}=\frac{f_1(u)}{\sqrt{v}}$ , což souhlasí s výsledkem.

janusz · 09. 10. 2015 23:19

dobrý den,

díky za odpověď, bohužel mi to stále není úplně jasné. Např. nechápu mechanismus integrování levé strany, tzn.
$\int_{}^{}\frac{Z_{vv}}{Z_{v}}dv = \ln |Z_{v}|$ a další kroky mi také nejsou moc jasné, mohl bych poprosit o trochu detailnější popis?

děkuji mnohokrát

Xellos · 10. 10. 2015 00:19

↑ janusz:
Substitucna metoda. Nazorne

$Z_{vv}=\frac{\mathrm{d} Z_v}{\mathrm{d} v}$
$\int \frac{Z_{vv}}{Z_v}\mathrm{d}v=\int \frac{1}{Z_v}\frac{\mathrm{d} Z_v}{\mathrm{d} v}\mathrm{d}v=\int \frac{1}{Z_v}\mathrm{d} Z_v=\ln|Z_v|$
(v poslednom integrale mozes rovnako dobre namiesto $Z_v$ pisat $x$ )

Jj · 10. 10. 2015 11:42

↑ janusz:

Jak píše kolega ↑ Xellos:, nebo si uvědomit, že v čitateli integrandu je derivace jeho jmenovatele --> integrálem bude logaritmus absolutní hodnoty jmenovatele.

janusz · 11. 10. 2015 22:31

ok, už je mi to jasný, děkuji oběma.

H.

Matematické Fórum

#1 06. 10. 2015 22:05

Rovnice s Derivacemi fce více proměnných

#2 06. 10. 2015 23:25

Re: Rovnice s Derivacemi fce více proměnných

#3 09. 10. 2015 23:19

Re: Rovnice s Derivacemi fce více proměnných

#4 10. 10. 2015 00:19

Re: Rovnice s Derivacemi fce více proměnných

#5 10. 10. 2015 11:42

Re: Rovnice s Derivacemi fce více proměnných

#6 11. 10. 2015 22:31

Re: Rovnice s Derivacemi fce více proměnných

Zápatí