Matematické Fórum

kucape · 11. 10. 2015 16:33

Zdravím,

upravte a porovnejte: (6n nad 3) a (3n nad 6).

Potreboval bych poradit s temi upravami.

$\frac{6n!}{3!(6n-3)!} =\frac{3n!}{6!(3n-6)!}$

Kdyz si to rozepisu tak mi vznikne dlouhy vyraz a nevim co s nim dal ?

$\frac{6n(6n-1)(6n-2)(6n-3)!}{3!(6n-3)!} =\frac{3n(3n-1)(3n-2)\ldots (3n-6)!}{6!(3n-6)!}$

$\frac{n(6n-1)(6n-2)}{1} =\frac{3n(3n-1)(3n-2)\ldots (3n-5)}{6!}$

Mel bych urcit pro ktere n je vetsi prvni vyraz a pro ktere druhy..

zdenek1 · 11. 10. 2015 16:50

↑ kucape:
můžeš zkrátit $n$ a $(3n-1)$
$480(6n-1)=(3n-2)(3n-3)(3n-4)(3n-5)$

a to už budeš muset roznásobit

kucape · 11. 10. 2015 17:31 — Editoval kucape (11. 10. 2015 17:32)

↑ zdenek1:

Co presne mam roznasobit?

Protoze kdyz roznasobim $(3n-2)(3n-3)(3n-4)(3n-5)$ tak mi vyjde $n^{4}$ ..

OndrasV · 12. 10. 2015 15:16

↑ kucape: To si prosím zkontroluj, protože člen řádu $n^{4}$ je $(3n)^{4}$ .

kucape · 12. 10. 2015 17:26 — Editoval kucape (12. 10. 2015 17:28)

↑ OndrasV:

Ano samozejme, myslel jsem, ze mi vyjde obecne polynom ctvrteho radu.

Kdyz to roznasobim tak mi vyjde: $2880 n-480 = 81 n^4-378 n^3+639 n^2-462 n+120$

tedy $2880 n-480 = (3n)^4-378 n^3+639 n^2-462 n+120$

Ale porad mi unika jak z toho dostat reseni.

Brano · 12. 10. 2015 18:54 — Editoval Brano (12. 10. 2015 19:30)

principialne sa daju kvarticke rovnice riesit vzorcom - ktory je dost hnusny, ale teba aj tak zaujmaju iba celociselne riesenia, takze si to uprav do zakladneho tvaru
$2880 n-480 = 81 n^4-378 n^3+639 n^2-462 n+120$
t.j. po prehodeni a skrateni $3$ mas
$27n^4-126n^3+213n^2-1114n+200=0$
(prosim over si to kvoli preklepom)

no a celociselne korene takejto rovnice musia byt nutne delitele posledneho clena - t.j. delitele 200
- to je konecne vela moznosti na overenie tak vela trpezlivosti :D

ale da sa skusat aj tak rozumne - samozrejme tie "tipy" sa budu lepsie dosadzat do tohoto
$480(6n-1)=(3n-2)(3n-3)(3n-4)(3n-5)$
a da sa urobit aj odhad na velkost $n$ - mozes si tu rovnicu upravir takto
$480\frac{6n-1}{3n-2}=(3n-3)(3n-4)(3n-5)$
lava strana je priblizne $960$ a prava strana je priblizne $(3n-4)^3$ co ti da $n\sim 4,6$
tak najprv vyskusaj delitele 200 okolo tohoto cisla - konkretne $n=4$ a $n=5$

tie nevyjdu (dalsie njblizsie su 2 a 8 - tiez nic) tak uz hned mozes tusit, ze asi to celociselne riesenie nebude mat, len bez nejakych presnejsich odhadov budes musiet aj tak vyskusat vsetky a nakoniec ti vyjde, ze to ziadne celociselne riesenie nema

kucape · 12. 10. 2015 20:13

↑ Brano:

Aha, tak v tom pripade bude nekde chyba v postupu, protoze by to melo vyjit, že pro $n =2,3,4$ je vetsi (6n nad 3) a pro $n \ge 5$ je vetsi (3n nad 6).

Nevite jak jinak by to slo resit?

Brano · 12. 10. 2015 20:45

↑ kucape:
jaj, no tak to treba polozit otazku spravne - ty si sa tam pytal na rovnost a ta nenastava (pre cele cisla)
v tom pripade sa ti hodia vsetky realne korene - jeden je prave okolo tych $4,7$ a preto je prave tam deliaci bod - t.j. 2,3,4 a potom 5,...

riesenie skusim najst nejake jednoduche

kucape · 12. 10. 2015 20:56

↑ Brano:

Psal jsem to uplne nahore, ale nemel jsem tam davat to rovna se, omlouvam se.

Dobre dekuji.

Brano · 12. 10. 2015 21:41

↑ kucape:
ved hej - ja som to neporiadne precital

takze asi taky najpriamociarejsi postup co ma napadol je takyto:

chceme zistit znamienko funkcie
$f(n)=(3n-2)(3n-3)(3n-4)(3n-5)-480(6n-1)$ pre $n=2,3,4$ to proste dosad a dostanes ze je to zaporne
pre $n\ge 5$ budeme chciet dokazat, ze je to kladne - substituujme $x=3n-4$ a teda mame $x\ge 11$
a skumame
$g(x)=(x+2)(x+1)x(x-1)-480(2x+7)$
vypocitajme
$h(x)=g(x+1)-g(x)=4(x+2)(x+1)x-960$ a teda pre $x\ge 11$ mame
$h(x)\ge 4x^3-960\ge 0$
a to spolu s tym, ze $g(11)=3240\ge 0$ nam indukciou zaruci, ze pre $x\ge 11$ plati $g(x)\ge 0$ a teda pre $n\ge 5$ plati $f(n)\ge 0$