Matematické Fórum

fghfghj · 12. 10. 2015 01:55

Zdravím,

mám vyřešit následující počáteční problém:

$x_{1}(t)=3x_{1} - x_{2} + e^t$
$x_{2}(t)=4x_{1} - x_{2} + 2e^t$

kde $t>0$ a $x_{1}(0)=1$ a $x_{2}(0)=0$

Budu řešit tak, že nejdřív vyřeším homogenizovaný systém.

Došel jsem k eigen(vlastní)-hodnotě $\lambda = 1$ s násobností 2 s příslušejícím eigen-vektorem $(1,2)$ , což by mělo být dle WA správně, odkaz tu:
http://www.wolframalpha.com/widget/widg … Warnings=1

Jak ale postoupit dál k zobecněným vektorům, to mi není jasné.

Mám podmínku $(A-\lambda \vec{v})=\vec{w}$

Po dosazeni mi vsak vyjde nulovy vektor:

$(2 -1)(w_{1})=1$
$(4 -2)(w_{2})=2$

Pardon, omlouvám se, nevím, jak jsem to měl vložit na řádek. Každopádně determinant je 0 a řešením je pouze nulový vektor, což však není zobecněný eigen(vlastní)vektor.

Jakmile bych došel k nějakému výsledku, dále bych to řešil homogenní část pomocí odhadu:

$x_{1}=v \cdot e^{\lambda t}$
$x_{2}=v \cdot e^{\lambda t} + w \cdot e^{\lambda t}$

Brano · 12. 10. 2015 20:01

podmienka je
$(A-\lambda)v=w$ teda
pre $\lambda=1$ to je
$\begin{pmatrix}2 & -1\\4 &-2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}w_1\\w_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$

dostanes riesenie $w=t\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\-1\end{pmatrix}$
cize mozes zobrat ten $(0,-1)$ a mas retazec $(0,-1)\mapsto(1,2)\mapsto(0,0)$

Matematické Fórum

#1 12. 10. 2015 01:55

Počáteční problém, systém obyč.dif. rovnic

#2 12. 10. 2015 20:01

Re: Počáteční problém, systém obyč.dif. rovnic

Zápatí