Matematické Fórum

undisputed · 18. 10. 2015 13:46

Zdravím, mám takéto zadanie (wolfram):
$\lim_{n\to\infty}(\frac{3n-3}{3n-2})^{\sqrt[4]{n}-3}$

V škole sme sa učili len jeden spôsob výpočtu cez: $\lim_{n\to\infty }(1+\frac{1}{n})^{n}=\mathrm{e}^{}$

Zo zadania som si odvodil: $\lim_{n\to\infty }(1-\frac{1}{3n-2})^{\sqrt[4]{n}-3}$ . Ako pokračovať ďalej? V škole sme robili ešte jeden krok a to vyjadrenie si n-ka takýmto štýlom:
$-\frac{1}{3n-2}=\frac{1}{k}; n = \frac{-k-2}{3}$
$\lim_{n\to\infty }(1+\frac{1}{k})^{\sqrt[4]{\frac{-k-2}{3}}-3}$

Ďalej už ale neviem ako by som sa pohol.

Vopred vďaka za pomoc.

Xellos · 18. 10. 2015 16:13

Chces $\frac{1}{3n-2}=\frac{1}{k}; n = \frac{k+2}{3}$ a nechat tam minus, ak nechces mat komplexny exponent.

Pomocou logaritmu si to mozes napisat ako

$\lim \exp\left[\left(\sqrt[4]{\frac{k+2}{3}}-3\right)\ln{\left(1-\frac{1}{k}\right)}\right]$

Rozsiris exponent $\frac{-k}{-k}$ a vyuzijes ze $\lim x\log \left(1+\frac{1}{x}\right)=1$ ; staci ti potom ratat limitu vyrazu $\left(\sqrt[4]{\frac{k+2}{3}}-3\right)\frac{1}{k}$ . Ta je 0 (ziadna odmocnina rastie ovela rychlejsie ako stvrta), teda limita exponentu je $0\cdot1$ a povodna limita je $1$ .

Matematické Fórum

#1 18. 10. 2015 13:46

limita

#2 18. 10. 2015 16:13

Re: limita

Zápatí