Matematické Fórum

Katsushiro

Ahoj všichni!

Snažím se naučit, jak řešit PDR, ale zatím jsem dost na začátku - mohli by jste mi, prosím, pomoci s řešením tohohle příkladu?

$u_x + yu_y + 2zu_z = 0$
$u(x,1,z) = e^{3x}/z$

Já na začátku sestavím charakteristický systém:
$x' = 1$
$y' = y$
$z' = 2z$

A tím končím... Našel jsem sice jakýsi popis, ale vůbec se v tom neorientuji :-(

Moc díky za všechny rady a vysvětlení,
Katsu

Brano · 19. 10. 2015 16:33 — Editoval Brano (19. 10. 2015 16:36)

mas pomerne staste, ze ten system je separovany, takze ho vyriesis priamo integraciou

$x=t+A$ $y=Be^t$ a $z=Ce^{2t}$
teraz potrebujes najst tie ekvipotencne blbosti vo fazovom portrete - co v preklade znamena, ze vyjadris $t$ z jednej rovnice a podosadzas do ostatnych - tak napr. z prvej
$y=Pe^x$ a $z=Qe^{2x}$
a teraz vyjadris tie konstanty $P=ye^{-x}$ a $Q=ze^{-2x}$
a teda vseobecne riesenie je v tvare
$u=f(p,q)$
kam dosadime tie $P,Q$ - a kedze tusim ako to bude vyzerat s okrajovou podmienkou tak rovno napisem
$f=\frac{1}{pq}+g(p,q)$
a dosadime okrajovu podmienku
$u(x,1,z)=f(e^{-x},ze^{-2x})=\frac{e^{3x}}{z}+g(p,q)$ (tie p,q tu nerozpisujem ale mozu sa)
vieme, ze sa to ma rovnat $\frac{e^{3x}}{z}$ cize $g(p,q)=0$

teda nase riesenie je $u=\frac{1}{pq}=\frac{e^{3x}}{yz}$

Katsushiro · 20. 10. 2015 23:12

↑ Brano:
Moc díky, mohl bys, prosím, jen dovysvětlit pár bodů?

1) Že se všechny rovnice char. systému integrují podle "t", to je konvence?
2) Ty P a Q se objeví v rovnici odkud?
3) Odkud víš tvar všeobecného řešení?
4) Kde zjistím okrajovou podmínku?

A jedná se o nějaký typický tvar PDR? Jako třeba Poissonovu rovnici?

Ještě jednou moc díky.

Brano · 20. 10. 2015 23:21 — Editoval Brano (20. 10. 2015 23:26)

1) t je len pismeno, mozes si zvolit akekolvek sa ti paci, "s" napriklad - len nepouzi take co tam uz mas (x,y,z,u)
2) P,Q su len konstanty napr. $P=Be^A$ kde A,B boli integracne konstanty a kedze su aj tak "nezname" tak nema zmysel drzat si ich strukturu
3) ten je povedany v metode charakteristik ktorou si to riesil - takze ak ste ju brali na prednaske (co asi ano, ked si to tak zacal riesit) tak by si mal mat v prednaskach niekde napisany aj ten tvar
mozno ste to mali slovne, ze "riesenie je konstantne na charakteristikach" a to je presne ono - najvseobecnejsia forma takej funkcie
4) nerozumiem otazke, skus sa spytat inak

Matematické Fórum

#1 19. 10. 2015 12:56 — Editoval Katsushiro (19. 10. 2015 12:56)

Parciální diferenciální rovnice - příklad

#2 19. 10. 2015 16:33 — Editoval Brano (19. 10. 2015 16:36)

Re: Parciální diferenciální rovnice - příklad

#3 20. 10. 2015 23:12

Re: Parciální diferenciální rovnice - příklad

#4 20. 10. 2015 23:21 — Editoval Brano (20. 10. 2015 23:26)

Re: Parciální diferenciální rovnice - příklad

Zápatí