Matematické Fórum

jardasmid · 13. 05. 2009 11:49

Zdravím, teď jsem dopočítal hnusný integrál $\int{e^{-pt}t\sin{2t} dt}$ metodou per-partes. Je z toho 2stránkový hnus. A v druhém cvičení mám integrál $\int{e^{-pt}t^2\cos{2t} dt}$ , který by byl metoudou per-partes ještě hnusnější. Navíc se tam po prvním kroku objeví $\int{e^{-pt}t\cos{2t} dt}$ , který se jak naschvál liší v cosinu oproti prvnímu příkladu, takže to nemůžu použít.
Nejde to spočítat nějak lépe? Třeba substitucí? Nemůžu ale příjít na to, co za substituci zvolit ...

Moc moc děkuju.

kaja(z_hajovny)

metoda neurcitych koeficientu: hledejte reseni ve tvaru
$e^{-pt}(at^2+bt+c)\cos(2t)+e^{-pt}(rt^2+st+u)\sin(2t)$

je potreba zderivovat, sestavi linearni rovnice a ty vyresit

jardasmid · 13. 05. 2009 12:19

Zderivovat ten integrál (tj. jenom odstranit integrál a dt) a pak to položit rovno odhadu?

kaja(z_hajovny)

$e^{-pt}(at^2+bt+c)\cos(2t)+e^{-pt}(rt^2+st+u)\sin(2t)=\int{e^{-pt}t^2\cos{2t} dt}$

Tohle zderivuju podle t, nalevo je derivace soucinu, napravo smazu integral a dt

Calculated in 0.06751 seconds.
(%i1)    display2d : false
(%o1) false
(%i2) A:exp((-p)*t)*((a*t^2+b*t+c)*cos(2*t)+(r*t^2+s*t+u)*sin(2*t))
(%o2) %e^-(p*t)*(sin(2*t)*(u+r*t^2+s*t)+(a*t^2+b*t+c)*cos(2*t))
(%i3) diff(A,t)
(%o3) %e^-(p*t)*(2*cos(2*t)*(u+r*t^2+s*t)-2*(a*t^2+b*t+c)*sin(2*t)
   +(2*r*t+s)*sin(2*t)
   +(2*a*t+b)*cos(2*t))
-p*%e^-(p*t)*(sin(2*t)*(u+r*t^2+s*t)+(a*t^2+b*t+c)*cos(2*t))

Rumburak

Také by šlo použít $f(p,t) = \int{e^{-pt}\cos{2t} dt}$ , $\int{e^{-pt}t^2\cos{2t} dt}= \frac {\partial ^2}{\partial {p^2}} f(p,t)$
(metoda derivace podle parametru), jen pozor na integrační konstanty.

jardasmid · 13. 05. 2009 13:55

↑ kaja(z_hajovny):

Tak jsem to zderivoval (ručně):

$-pe^{-pt}(At^2+Bt+C)\cos{2t}+e^{-pt}(2At+B)\cos{2t}-2e^{-pt}(At^2+Bt+C)\sin{2t} - pe^{-pt}(Dt^2+Et+F)\sin{2t}+e^{-pt}(2Dt+E)\sin{2t}+2e^{-pt}(Dt^2+Et+F)\cos{2t} = e^{-pt}t^2\cos{2t}$

A po úpravě a vytvoření soustavy mi vychází A=B=C=D=E=F=0, což asi dobře není ...

jardasmid · 13. 05. 2009 15:17

Neumím počítat, už to snad mám

Matematické Fórum

#1 13. 05. 2009 11:49

Pomoc s integrálem

#2 13. 05. 2009 11:58 — Editoval kaja(z_hajovny) (13. 05. 2009 11:59)

Re: Pomoc s integrálem

#3 13. 05. 2009 12:19

Re: Pomoc s integrálem

#4 13. 05. 2009 12:48 — Editoval kaja(z_hajovny) (13. 05. 2009 12:52)

Re: Pomoc s integrálem

#5 13. 05. 2009 12:50 — Editoval Rumburak (13. 05. 2009 13:56)

Re: Pomoc s integrálem

#6 13. 05. 2009 13:55

Re: Pomoc s integrálem

#7 13. 05. 2009 15:17

Re: Pomoc s integrálem

Zápatí