Matematické Fórum

Ondrik_B · 21. 10. 2015 17:15

Ahoj, potreboval bych pomoci s prikladama typu: dokzate z definice ze limita fce. f(x) je L.

konkretni priklad:
Dokaze ze limita f(x) = 1/32
$f(x)=(\frac{1}{x+3} - \frac{2}{3x+5})\frac{1}{x-1}=\frac{1}{(x+3)(3x+5)}$

$\lim_{x\to1}((\frac{1}{x+3} - \frac{2}{3x+5})\frac{1}{x-1}) =\frac {1}{32}$

Definice:
$\lim_{x\to1}f(x) = \frac{1}{32} \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0 \exists \delta>0 :|x-1|<\delta \Rightarrow |f(x) - \frac{1}{32}|<\varepsilon$

Coz mi rika, ze ja musim pro kterykoliv epsilon najit beta takovy aby byly splneny obe nereovnosti.

Jednu nerovnost si muzu upravit na tvar:
$|f(x) - \frac{1}{32}|=|\frac{-(x-1)(3x+17)}{32(x+3)(3x+5)}|=\frac{1}{32}\frac{|x-1|}{|x+3|}\frac{|3x+17|}{|3x+5|}<\varepsilon$

A tim jsem skoncil. Vim ze nejak musim pomoci epsilon odhadnout deltu. (nebo ne?) Prosim o nejakou radu jak na to. Nejde mi o to vyresit jenom tento priklad, ale rad bych se naucil dokazovat obecne.

Dik y.

Bati · 21. 10. 2015 22:56

Ahoj ↑ Ondrik_B:.
Už to skoro máš, protože v tom posledním výrazu se ti objevilo $|x-1|$ , což to celý srazí do nuly, protože x jde k 1 a všechny ostatní činitelé se chovají jako nějaká kladná konstanta.

Teď zbývá jen napsat to formálně. To jest k danému epsilonu potřebujeme najít delta, aby platilo ... Teoreticky, dejme tomu, že po těch úpravách by ti vyšlo
$|f(x)-\tfrac1{32}|=|x-1|$ .
Pak je jasný, že stačí volit $\delta:=\varepsilon$ . Když tam dostaneš třeba
$|f(x)-\tfrac1{32}|=|3x+17||x-1|$ , tak uděláš odhad zeshora:
$|3x+17|<|3(1+\delta)+17|=|20+3\delta|<23$ ,
protože můžeme BÚNO volit $\delta<1$ . Pak je jasný, že stačí volit $\delta:=\min(1,\tfrac{\varepsilon}{23})$ a dostaneme $|f(x)-\tfrac1{32}|=|3x+17||x-1|<23\,\tfrac{\varepsilon}{23}=\varepsilon$ .
Výrazy ve jmenovateli odhadneš stejně, akorát použiješ spodní odhad.

Ondrik_B · 22. 10. 2015 17:34

Diky moc, za osvetleni. Takze pokud budu resit ten priklad, potom pomoci odhadu urcim toto:

$|f(x)-\tfrac1{32}|< \frac{23\delta }{32\cdot 4 \cdot8}$

Tedy pokud polozim $\delta :=\frac{1024}{23} \varepsilon$ Tak jsem nasel pro vsechny epsilony deltu, ktera splnuje definici. Tudiz jsem dokazal ze limita je 1/32.

Spravne?

Akorat jsem nepochopil, proc je tam ta fce. min. Nestacilo by jenom $b:=\tfrac{\varepsilon}{23}$

Matematické Fórum

#1 21. 10. 2015 17:15

Dokazte z definice limitu funkce

#2 21. 10. 2015 22:56

Re: Dokazte z definice limitu funkce

#3 22. 10. 2015 17:34

Re: Dokazte z definice limitu funkce

Zápatí