Matematické Fórum

kachne33

Dobrý den, potřebovala bych poradit asi se středoškolskou matematikou (jsem na VŠ) ale bohužel jsme tohle určitě nebrali. Potřebovala bych spočítat kvadratickou rovnici, pokud mám zadaný a,b,c... X1 je číslo, které by údajně mělo vyjít (může to být ale špatně, je to výsledek jiného studenta), mě ale vychází úplně jiná odchylka... odchylky počítám tak, že:
pokud sčítám odčítám --> odchylky se sčítají
pokud dělím --> sčítám relativní chyby, dělím je 100 a násobím podílem dvou čísel
pokud násobím --> sčítám relativní chyby, dělím je 100 a násobím součinem dvou čísel
pokud mocním --> relativní chybu násobím exponentem, pak to dělím 100 a násobí umocněným číslem
pokud násobím normální číslo s neúplným číslem: například 4*1+/-0,001 pak výsledek je 4+/-0,004 ...
Pokud to tak je, tak výsledek mi vyšel tak jak píšu dole... nebo kde jsem mohla udělat chybu? Děkuju ;)
//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-10/28817_Bez%2Bn%25C3%25A1zvu.jpg

jelena · 22. 10. 2015 23:12

Zdravím,

ze slovního popisu není zcela rozumět, spíš by pomohlo uvést příklady - jak jsi počítala např. $-4ac$ (nebo přidej odkaz na Tvé materiály). Problém nejspíš bude v dělení 100. Relativní chybu vypočteš jako "absolutní chyba čísla"/"číslo" (100 se používá pro převod na procenta).

Tvůj výsledek asi dobře nebude (problém je v odchylce - je více, jak 50%, žádná z dílčích hodnot tak velkou chybou nezatíží). Alespoň jak jsem příspěvek přeluštila.

Eratosthenes · 22. 10. 2015 23:52

ahoj ↑ kachne33:,

bohužel teď nemám čas to přepočítat - principiálně jednoduchá rada: zapomeň na spoustu všelijakých pravidel a zamysli se nad tím, jaké hodnoty musíš dosadit, abys dostala výsledek nejmenší a největší. No a máš jeho meze.

Eratosthenes · 22. 10. 2015 23:56

ahoj ↑ jelena:,

>>Tvůj výsledek asi dobře nebude (problém je v odchylce - je více, jak 50%, žádná z dílčích hodnot tak velkou chybou nezatíží.

Zatíží - a dokonce větší, Je-li b=102+-12, pak minimální hodnota čtverce b^2=90^2 a maximální je b^2=114^2. Takže chyba jen u b^2 je přes 60%...

jelena · 23. 10. 2015 00:15

↑ Eratosthenes:

Zdravím, to ano, ale celkový výsledek (b^2-4ac) se odmocní, tedy jsme cca tam, kde jsme byli.

bohužel teď nemám čas to přepočítat

také tak. Jinak vztahy pro neúplná čísla se celkem snadno odvodí, osobně však preferuji výpočty přes pravidla pro přenášenou chybu měření (toto kolegyně ale nejspíš nepotřebuje), počkám(e) na odkaz na materiály.

Honzc · 23. 10. 2015 07:43 — Editoval Honzc (23. 10. 2015 07:44)

↑ kachne33:
Já bych to řešil takto:
Spočítal bych největší a nejmenší možný výsledek ze vzorce:
$x=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
Protože b je vždy záporné a a i c kladná pak aby
a) x bylo co největší musí být:
a co nejmenší, abs(b) co největší a c co nejmenší
Tomu odpovídají hodnoty:
$a=15.3,b=-114,c=108$
Pak $x\approx 6.0029$

b) x bylo co nejmenší musí být:
a co největší, abs(b) co nejmenší a c co největší, ale pozor také $b^{2}-4ac\ge 0$
Pokud bychom dosadili koeficienty podle předpokladu nebude x v oboru reálných čísel.
Tedy c musíme volit takové, že $b^{2}-4ac= 0$
Tomu odpovídají hodnoty:
$a=18.3,b=-90,(c\approx 110.6557377-\text{to nás ale nezajímá})$
Pak $x=\frac{90}{2\cdot 18.3}\approx 2.4591$
A teď už jen stačí udělat aritmetický průměr a spočítat odchylku
$x=\frac{6.0029+2.4591}{2}=4.231\pm 1.772$

jelena · 23. 10. 2015 10:16

↑ Honzc:

Zdravím, to určitě můžeš řešit vlastním způsobem, ale "neúplné číslo" obvykle odráží nepřesnost měření (nevznikne jen tak z ničeho). Tedy musí být použit jednotný postup - jak takové výsledky zpracovávat. Hrubší odhad je založen na technice, kterou popisuje autorka - přehledněji, vztahy můžeme podrobně odvodit, pokud je zájem.

Přesnější a více použitelné pro zpracování je metodika "chyby přenášené" - odkaz, který běžně používám nebo také běžně používám - odkaz nebo novější. Toto není sdělení pro Tebe, ale jelikož jsou pravidla zavedena a není správné namlouvat studujícím kolegům, že nejsou.

Eratosthenes · 23. 10. 2015 16:11

↑ jelena:

>> ale celkový výsledek (b^2-4ac) se odmocní, tedy jsme cca tam, kde jsme byli.

To rozhodně ne. Největší hodnota diskriminantu je

D_2 = 114^2-4*15.3*108 = 6386,4

a nejmenší

D_1 = 90^2-4*18.3*158 = -3465,6

A teď mně vysvětli, co a jak chceš odmocňovat?

Eratosthenes · 23. 10. 2015 16:15

↑ Honzc:

a proč tě komplexní řešení nezajímá? Je snad někde napsáno, že kořeny té kvadratické rovnice mají být reálné?

Eratosthenes · 23. 10. 2015 16:35

ahoj ↑ kachne33:,

píšeš, že X1 je číslo, které by údajně mělo vyjít. Proč je tedy zapsáno ve stejné tabulce, jako zadané koeficienty a, b, c?

Podle mě zní úloha úplně jinak. Já bych řekl, že jsou známy koeficienty a, b, c s danou chybou, dále jeden kořen příslušné kvadratické rovnice s danou chybou a má s spočítat druhý kořen a jeho chyba.

To je ovšem úplně jiná úloha než ta, kterou tady řešíme...

kachne33 · 23. 10. 2015 19:40

Děkuju všem za snahu při řešení,... už jsem na to přišla a ve skutečnosti to bylo jednodušší než se zdálo. Stačilo jen spočítat nejprve kvadratickou rovnici jen s hodnotami čísel bez odchylek, pak spočítat kvadratickou rovnici s hodnotami, které byly snížené či zvýšené o tu jejich odchylku... ty dva výsledky těchto dvou rovnic jsem pak od sebe odečetla a vyšla mi odchylka čísla, které mi vyšlo v první kvadratické rovnici. Správný výsledek je tedy opravdu ten X1 v tabulce :)

kachne33 · 23. 10. 2015 19:41

↑ Eratosthenes: je to v jedný tabulce, protože jsem to tam prostě takhle napsala, aby to bylo "přehlednější" ale asi to nebyla správná volba ;)

kachne33 · 23. 10. 2015 19:47

↑ Honzc: děkuju za velmi podrobné řešení, asi to tak ale nebude, protože jsem zjistila, že když se odčítá od záporné hodnoty odchylka, jako v tomto případě je -102, tak to není -102-12 = -114, ale -(102-12)=-90, tudíž do kvadratické rovnice sázíme za a=15,3, b=-90 a c=108, pak vyjde kvadratická rovnice asi 3,175 a počítá se odchylka viz můj popis dál zde v textu :) dík!

jelena · 23. 10. 2015 21:18

Zdravím,

↑ Eratosthenes: ohledně odmocnění - jak můžeme takto počítat? Hodnota s uvedenou absolutní chybou přece neudává jakou nejmenší a největší hodnotu může číslo nabývat - nebo já mám zcela okno. Co si představujete pod zápisem $a=16,5\pm1,5$ ?

Při odmocnění výsledku $k=\sqrt{b^2-4ac}=\sqrt{d}$ jsem předpokládala vypočítat chybu rozdílu (použitím chyb mocniny a součinu z předchozích výpočtů, výslednou absolutní chybu označím $\delta$ ) a chybu odmocninu vypočtu jako $\kappa=\frac{1}{2}\sqrt{\bar{d}}\cdot\frac{\delta}{\bar{d}}$ .

Máte, prosím, Přehled středoškolské matematiky od Poláka (mé vydání je z roku 1972) a je to kapitola "Dodatek o numerických výpočtech"? (otázky výpočtu chyb přes parciální derivace teď nebudu otevírat)

kachne33 napsal(a):
už jsem na to přišla a ve skutečnosti to bylo jednodušší než se zdálo. Stačilo jen spočítat nejprve kvadratickou rovnici jen s hodnotami čísel bez odchylek, pak spočítat kvadratickou rovnici s hodnotami, které byly snížené či zvýšené o tu jejich odchylku... ty dva výsledky těchto dvou rovnic jsem pak od sebe odečetla a vyšla mi odchylka čísla, které mi vyšlo v první kvadratické rovnici.

to přeci není možné - můžeš, prosím, přidat, materiál, ze kterého studuješ? Opravdu budu zavázána.

:-) dorazila jsem odsud, ale teď nejsem si jistá, co na mne udělalo větší dojem - zda objevy tohoto tématu nebo tamtoho.

Děkuji.

Eratosthenes

ahoj ↑ jelena:

>> Hodnota s uvedenou absolutní chybou přece neudává jakou nejmenší a největší hodnotu může číslo nabývat

A co jiného by to mělo být ???

Pod zápisem $a=16,5\pm1,5$ si představuju $a\in <15;18>$ . A nejen já, ale i učebnice numerické matematiky.
Přehled středoškolské matematiky od Poláka mám, ale vydání z r. 1991, kde žádný takový dodatek není. Pokud ho kolega Polák v dřívějších vydáních měl, v těch novějších ho vypustil - zřejmě z dobrých důvodů...

Eratosthenes · 23. 10. 2015 22:26

ahoj ↑ kachne33:

V tom případě je to krajně podivné, protože s některými přípustnými hodnotami a,b,c vychází (pokud jsem se nepřeklepl) komplexní řešení. A odhady chyb při operacích s komplexními čísly se běžně nepožadují ani na VŠ.

jelena · 23. 10. 2015 23:21

↑ Eratosthenes:

:-) já bohužel nemám potenciál na diskusi s Vámi (a rozhodně nebudu rozporovat učebnici numerické matematiky). Zápis $a=16,5\pm1,5$ a zápis $a\in <15;18>$ si představuji, že s určitou pravděpodobnosti "správná" hodnota čísla a se nachází v tomto intervalu. Ovšem nemohu vědět, zda zápis $a=16,5\pm1,5$ říká, že $1,5$ je maximální absolutní chyba, nebo hodnota směrodatné odchylky, kterou jsme vypočetli pro soubor dat a v takovém tvaru uvedli zápis výsledku.

Já souhlasím, že pokud potřebuji úplně hrubý maximální odhad výsledku zadaného výrazu, tak "poskládám hodnoty tak, abych skutečně tento odhad našla" - viz Vy a kolega Honzc. Ale výsledek tohoto odhadu mi neumožňuje zapsat výsledek výpočtu celého výrazu ve tvaru $v=\bar{v}\pm \nu$ . S tímto souhlasíte?

Odůvodňuji to, že proti sobě stoji "funkční" hodnota" a "totální diferenciál" - a to není totéž. Já se omlouvám - v mém provedení takové výrazy zní směšně :-)

Pokud ho kolega Polák v dřívějších vydáních měl, v těch novějších ho vypustil - zřejmě z dobrých důvodů...

např. to, že pro odvození vztahů pro výpočty by potřeboval parciálně derivovat (u součinu, podílu i celé mocniny ještě si vystačí s přibližným odvozením - ale to Vy víte). Souhlasíte alespoň, že postup navržený kolegyňkou ↑ kachne33: v příspěvku 11 a 13 je, řekneme, velmi odvážný?

Eratosthenes

ahoj ↑ jelena:

co množiny množinami stojí, zápis $a\in <a_1;a_2>$ znamená, že číslo a leží v intervalu $<a_1;a_2>$ , tj. platí $a_1\le a\le a_2$ a platí to zcela jistě. Chyby mohou mít jistě různá statistická rozložení, nicméně pokud je zadání $a=\bar a \pm E_a$ , pak je naměřená hodnota náhodnou veličinou s rovnoměrným rozložením, střední hodnotou $\bar a$ a rozpětím $2E_a$ , což je totéž, co jsem jinými slovy napsal v první větě.

Pokud by měly mít chyby rozložení jiné, muselo by být uvedeno jaké a např. v případě rozložení normálního zadána nikoli absolutní chyba, ale buď směrodatná odchylka, anebo rozptyl. Ani výsledek by pak nebylo možné zadat ve tvaru $\bar x\pm E_x$ , ale ve tvaru střední hodnota a rozptyl (popř. směrodatná odchylka).

Pokud by v zadaném příkladu ze všech přípustných hodnot vstupních dat vyšly oba kořeny reálné, bylo by je možné (opět zcela jistě) zapsat ve tvaru $\bar x\pm E_x$ a výsledek by musel vyjít stejně, ať už to počítám metodou dolní a horní meze (tak jak jsem to poradil) anebo bych si hrál s parciálními derivacemi dvou funkcí tří proměnných

$f_1(a,b,c) = \frac {-b+\sqrt{b^2-4ac}} {2a}$
$f_2(a,b,c) = \frac {-b-\sqrt{b^2-4ac}} {2a}$

a jejich Taylorovými rozvoji. Tato metoda však předpokládá, že funkce f jsou reálné, což v našem příkladě bohužel neplatí, protože některé jejich funkční hodnoty jsou komplexní. Jedná se tedy o komplexní funkce tří reálných proměnných a tam je to celé trochu složitější.

Jak jsem psal výše, příklad je i na studenta VŠ dost silná káva. Zadavatel spíš zřejmě očekává jako správný nějaký alchymistický postup ve stylu ↑ kachne33:, což je ovšem špatně.

jelena · 24. 10. 2015 10:30

↑ Eratosthenes:

dobře, souhlasím, že v zadání není upřesněn způsob zápisu čísla, potom tabulka může udávat def. obory jednotlivých proměnných a platí, jak píšete (k tomu, že na celém intervalu nenabývá komplexních hodnot + ještě předpoklad, že je monotonní a min/max nabývá na hranicích zadaných intervalů - jinak bychom měli ještě došetřit).

Původní naše debata byla ale o tom, že pokud je výraz pod odmocninou zatížen chybou 60%, tak po odmocnění chyba je menší.

Jak jsem psal výše, příklad je i na studenta VŠ dost silná káva. Zadavatel spíš zřejmě očekává jako správný nějaký alchymistický postup ve stylu ↑ kachne33:, což je ovšem špatně.

nejspíš jen předpokládal použití vzorečků typu již zmíněného váženého autora J. Poláka (a co jsem se zběžně podívala při zadání "neúplná čísla" do vyhledavače). Postup kolegyně je opravdu nepodařený (pokud jen snižovala/zvyšovala hodnoty o odchylky, tak nemohla zachytit max a min +

protože jsem zjistila, že když se odčítá od záporné hodnoty odchylka, jako v tomto případě je -102, tak to není -102-12 = -114, ale -(102-12)=-90

ale i tak -(102+12)=-114 - kde bylo použito?

↑ Eratosthenes: no, myslím, že nám je cca jasno, venku je pěkně a budeme doufat, že kolegyně donese nějaký studijní materiál. Zdravím a děkuji za ochotu debatovat :-)

Jelena

kachne33 · 24. 10. 2015 11:59

↑ jelena: Byly to jen hodnoty z fyzikální chemie, ze kterých jsem potřebovala zjistit x1. A ano, asi to je nějaký alchymistický způsob jak to vypočítat, ale po nás ho takhle chtěli, a tak jsem to tak vypočítala. Bohužel jsem si ten alchymistický způsob zjistila až po zadání tohoto dotazu, takže se omlouvám, že Vás zklamu tímto pro mě správným nematematickým postupem. Protože se to tedy netýká matematiky a ani to není žádný vzorový příklad, pouze hodnoty z laboratorní práce, lepší materiály k dodání nemám :) díky ! :)

Honzc · 24. 10. 2015 12:55 — Editoval Honzc (25. 10. 2015 06:40)

↑ kachne33:
Pokud budu počítat podle ↑ jelena: s využitím postupů uvedených Tady pak dojdu k výsledku
$x=4.175\pm 1.705$

↑ Eratosthenes:
To že x je reálné číslo mi vychází z toho, že jako reálné vyjde i řešení pro a=16.8,b=-102,c=133.
Jestliže předpokládám, že x je reálné číslo a $a\pm \alpha =\langle a-\alpha ,a+\alpha \rangle$ , pak můj výše popsaný postup se mi jeví jako možný.

Eratosthenes · 24. 10. 2015 15:39

↑ Honzc:

>> Jestliže předpokládám, že x je reálné číslo ...

Jenže ten předpoklad není ničím podložený - v zadání nic takového není...

jelena · 24. 10. 2015 15:39

↑ kachne33:

ale po nás ho takhle chtěli, a tak jsem to tak vypočítala

:-) není možné. Pokud to je práce do fyzikální chemie, potom po vás mají chtít správné postupy ve vyhodnocení dat (a pravděpodobně měli sdělit buď na úvod kurzu, nebo předpokládají, že umíte např. z fyzikálních měření). A měli byste používat postupy, které uvádím někde na začátku tématu a jsou to postupy již dnes standardizované (postup, co použil kolega ↑ Honzc: je obdobný - viz odvození v materiálu, který uvedl).

↑ kachne33:, ↑ Eratosthenes: po upřesnění máme před sebou data již nějak zpracována, nemůžeme podezírat "autora dat", že nebral ohled na možné riziko komplexních kořenů a data nekontroloval (že jsou jen cvičná). Spíš ale můžeme předpokládat, že jsou zpracována ze souboru a uvedena jako "průměr", "směrodatná odchylka".

↑ kachne33: ještě upřesnění:

a) jak se jmenovala práce a která data jsi naměřila - to, co je v tabulce, je již výsledek měření? jak jsi výsledky dostala (vč. uvedených +/-), jakým výpočtem?
b) máte návod na zpracování experimentálních dat?

Děkuji, nijak to nespěchá :-) A zdravím, koho jsem nezdravila.

Matematické Fórum

#1 22. 10. 2015 17:47 — Editoval kachne33 (22. 10. 2015 17:54)

Počítání s neúplnými čísly

#2 22. 10. 2015 23:12

Re: Počítání s neúplnými čísly

#3 22. 10. 2015 23:52

Re: Počítání s neúplnými čísly

#4 22. 10. 2015 23:56

Re: Počítání s neúplnými čísly

#5 23. 10. 2015 00:15

Re: Počítání s neúplnými čísly

#6 23. 10. 2015 07:43 — Editoval Honzc (23. 10. 2015 07:44)

Re: Počítání s neúplnými čísly

#7 23. 10. 2015 10:16

Re: Počítání s neúplnými čísly

#8 23. 10. 2015 16:11

Re: Počítání s neúplnými čísly

#9 23. 10. 2015 16:15

Re: Počítání s neúplnými čísly

#10 23. 10. 2015 16:35

Re: Počítání s neúplnými čísly

#11 23. 10. 2015 19:40

Re: Počítání s neúplnými čísly

#12 23. 10. 2015 19:41

Re: Počítání s neúplnými čísly

#13 23. 10. 2015 19:47

Re: Počítání s neúplnými čísly

#14 23. 10. 2015 21:18

Re: Počítání s neúplnými čísly

kachne33 napsal(a):

#15 23. 10. 2015 22:05 — Editoval Eratosthenes (23. 10. 2015 22:28)

Re: Počítání s neúplnými čísly

#16 23. 10. 2015 22:26

Re: Počítání s neúplnými čísly

#17 23. 10. 2015 23:21

Re: Počítání s neúplnými čísly

#18 24. 10. 2015 00:42 — Editoval Eratosthenes (24. 10. 2015 00:49)

Re: Počítání s neúplnými čísly

#19 24. 10. 2015 10:30

Re: Počítání s neúplnými čísly

#20 24. 10. 2015 11:59

Re: Počítání s neúplnými čísly

#21 24. 10. 2015 12:55 — Editoval Honzc (25. 10. 2015 06:40)

Re: Počítání s neúplnými čísly

#22 24. 10. 2015 15:39

Re: Počítání s neúplnými čísly

#23 24. 10. 2015 15:39

Re: Počítání s neúplnými čísly

Zápatí