Matematické Fórum

Sk1X1 · 26. 10. 2015 18:18

Zdravím,
potřeboval bych pomoci s vyřešením limit těchto příkladů a rozhodnutí, zda limita je $\mathrm{e}^{2}$

//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-10/78677_saolin.png

1. ?
2. $(1+(\frac{1}{n}))^{2n} = (1+(\frac{1}{n}))^{\frac{2n}{2} * \frac{2}{1}} = \mathrm{e}^{2}$
3. ?
4. $(1+(\frac{1}{2n}))^{n} = (1+(\frac{1}{n}))^{2n * \frac{1}{2}} = \sqrt{\mathrm{e}}$

Z toho plyne, že druhý příklad má limitu $\mathrm{e}^{2}$ a čtvrtý příklad $\sqrt{\mathrm{e}}$ . Může mi ale někdo poradit jak upravit 1 a 3 příklad.

Předem díky za odpovědi.

Al1 · 26. 10. 2015 18:28 — Editoval Al1 (26. 10. 2015 18:30)

↑ Sk1X1:

Zdravím,

ad1) můžeš použít substituci $\frac{2}{n}=\frac{1}{k}$ , nebo znalost $\lim_{n\to\infty }\bigg(1+\frac{p}{n}\bigg)^{n}=\mathrm{e}^{^{p}}$

ad3) žádnou úpravu nepotřebuješ, neboť $\lim_{n\to\infty }\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)=1$

Sk1X1 · 27. 10. 2015 18:56 — Editoval Sk1X1 (28. 10. 2015 12:36)

Koukám, že tam mam chybu, chybí mi dvojka ve jmenovateli
4. (1+(\frac{1}{2n}))^{n} = (1+(\frac{1}{2n}))^{2n * \frac{1}{2}} = \sqrt{\mathrm{e}}$

Takto to mělo být.

edit. Tak to trochu omylem jsem editoval tenhle příspěvek :-/

Al1 · 27. 10. 2015 20:12 — Editoval Al1 (27. 10. 2015 20:27)

↑ Sk1X1:

Ano, to je dobře, jen v poslední limitě se mi nezdá tvá úprava

$\lim_{n\to\infty }(1+(\frac{1}{2n}))^{n} =\lim_{n\to\infty } (1+(\frac{1}{n}))^{2n * \frac{1}{2}} = \sqrt{\mathrm{e}}$

Tady můžeš zase použít vztah $\lim_{n\to\infty }\bigg(1+\frac{p}{n}\bigg)^{n}=\mathrm{e}^{p}$ , protože

$\lim_{n\to\infty }\bigg(1+\frac{1}{2n}\bigg)^{n} =\lim_{n\to\infty }\bigg (1+\frac{\frac{1}{2}}{n}\bigg)^{n} =\mathrm{e}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{\mathrm{e}^{}}$

Sk1X1 · 28. 10. 2015 12:39 — Editoval Sk1X1 (28. 10. 2015 12:39)

V posledním jsem měl chybu, chyběla mi dvojka ve jmenovateli
4. $(1+(\frac{1}{2n}))^{n} = (1+(\frac{1}{2n}))^{2n * \frac{1}{2}} = \sqrt{\mathrm{e}}$

Takto to mělo být.

Matematické Fórum

#1 26. 10. 2015 18:18

Limita posloupnosti

#2 26. 10. 2015 18:28 — Editoval Al1 (26. 10. 2015 18:30)

Re: Limita posloupnosti

#3 27. 10. 2015 18:56 — Editoval Sk1X1 (28. 10. 2015 12:36)

Re: Limita posloupnosti

#4 27. 10. 2015 20:12 — Editoval Al1 (27. 10. 2015 20:27)

Re: Limita posloupnosti

#5 28. 10. 2015 12:39 — Editoval Sk1X1 (28. 10. 2015 12:39)

Re: Limita posloupnosti

Zápatí