Matematické Fórum

Spyke · 13. 05. 2009 14:40

Dobrý den,
potřebuji pomoct s následujícím příkladem. Zadání zní:
"Vypočtěte objem tělesa vzniklého rotací plochy omezené funkcemi y=4-x^2 a y=|2x| kolem osy x." Vím jak vypadá plocha, kterou mám spočítat, bohužel problém je ve složení a následném vypočítání celého určitého integrálu.

Předem děkuji za každou radu.

Marian · 13. 05. 2009 15:55 — Editoval Marian (13. 05. 2009 15:56)

↑ Spyke:
Pokud víš, jak plocha, která má rotovat vypadá, pak víš také, že je souměrná podle osy y (sudost obou funkcí). Stačí se proto omezit na část napravo od osy x. Pak bude
$f(x)=4-x^2\qquad\text{a}\qquad g(x)=2x.$
Pro objem vzniklého tělesa pak platí
$V=2\cdot\pi\int_{0}^{\xi}\left ((4-x^2)^2-(2x)^2\right )\,\mathrm{d}x,$
kde $\xi >0$ je řešení rovnice f(x)=g(x).

Spyke · 13. 05. 2009 20:03

↑ Marian:
Ano, tohle vím, jen jsem si chtěl ověřit zda-li odečítám správnou funkci. Hlavní problém se vyskytuje až dále, při samotném výpočtu. Bohužel $\xi=-1+sqrt{5}$ a to není zrovna 'hezké' číslo při dosazování mezí, ale k věci.

Integrál tedy vypadá takto: $V=2\cdot\pi\int_{0}^{-1+sqrt{5}}\left ((4-x^2)^2-(2x)^2\right )\,\mathrm{d}x,$ . Po zintegrování a před dosazením mezí dostávám tedy tento tvar: $V=2\cdot\pi\left[\16x-4x^3+\frac{1}{5}x^5\right]^{-1+sqrt{5}}$ , kde dolní mez je stále 0, tkž tu ani nepočítám.

Omluvte, že tu "0" ani nepíšu, ale nevím jak ji do toho vzorce vecpat, tak snad to tolik nevadí.

Po dosazení horní meze, tedy $-1+sqrt{5}$ a následné úpravě dostanu výsledek v tomto tvaru: $V=2\cdot\pi\left(\11\frac{4}{5}+16\cdot\sqrt{5}+\frac{1}{5}\cdot\5^(\frac{5}{2})-4\cdot\5^(\frac{3}{2})\right)$ . Výrazem před závorkou, tedy $\2\cdot\pi$ , sem to už ani neroznásoboval, ptž se mi při takovýchto číslech nezdá, že bych to měl dobře.

Bohužel nevím, kde dělám chybu, zkoušel sem to počítat již vícekrát, avšak stále bez výsledku. Kdyby někdo objevil chybu v tom co sem napsal, a poradil mi, jak na to, budu mu velmi vděčen.

Marian · 13. 05. 2009 20:44

↑ Spyke:
Primitivní funkce je vypočtena správně. Horní mez integrace také. Úprava ve tvém podání mi není jasná. Sice jsem to neupravoval, ale zadal jsem to spočítat do Maple 9.5 a ten dává výsledek (včetně násobení 2*Pi) ve tvaru
$V=\frac{128}{5}\pi.$
A to už se dá přeci jako hezký výsledek jistě vnímat.

Pokud bude problém, napiš úpravu sem a jistě někdo zkontroluje tvé kroky.

Chrpa · 13. 05. 2009 20:56 — Editoval Chrpa (13. 05. 2009 21:04)

↑ Marian:
I "ruční" výpočet ukazuje stejný výsledek

$16x=16\sqrt 5-16\nl-4x^3=-32(\sqrt 5-2)\nl\frac{x^5}{5}=16\sqrt 5-\frac{176}{5}\nl16\sqrt 5-16-32\sqrt 5+64+16\sqrt 5-\frac{176}{5}=48-\frac{176}{5}=\frac{64}{5}$
$2\pi\cdot\frac{64}{5}=\frac{128\pi}{5}$

Spyke · 14. 05. 2009 18:28 — Editoval Spyke (14. 05. 2009 18:28)

Děkuji za Váš čas, už je to vyřešené. Chyba byla v úpravě výrazu $\frac{(sqrt5-1)^5}{5}$ . Ale když jsem viděl správný výsledek, nebylo až tak těžké na to přijít. Ještě jednou děkuji..:)

Matematické Fórum

#1 13. 05. 2009 14:40

Objem tělesa

#2 13. 05. 2009 15:55 — Editoval Marian (13. 05. 2009 15:56)

Re: Objem tělesa

#3 13. 05. 2009 20:03

Re: Objem tělesa

#4 13. 05. 2009 20:44

Re: Objem tělesa

#5 13. 05. 2009 20:56 — Editoval Chrpa (13. 05. 2009 21:04)

Re: Objem tělesa

#6 14. 05. 2009 18:28 — Editoval Spyke (14. 05. 2009 18:28)

Re: Objem tělesa

Zápatí