Matematické Fórum

Pavel · 29. 10. 2015 22:12

Uveďte příklad binární operace $\odot:\ \mathbb R^+\times\mathbb R^+\longrightarrow\mathbb R^+$ tak, aby algebraická struktura $(\mathbb R^+,\oplus,\odot)$ byla komutativní těleso, je-li operace $\oplus$ definovaná jako obyčejné násobení kladných reálných čísel, tj. $a\oplus b=a\cdot b$ , $a,b\in\mathbb R^+$ .

Bati · 29. 10. 2015 23:16

↑ Pavel:
Vždycky jsem si myslel, že taková věc neexistuje:-)

byk7 · 29. 10. 2015 23:31

Nějak mi nedochází, jak by vypadal neutrální prvek vůči o-sčítání?

vanok · 30. 10. 2015 00:59 — Editoval vanok (30. 10. 2015 02:04)

Ahoj ↑ Pavel:,
Bez akehokolvek overenia :
Ak oznacime prvky z $\mathbb R^+$ symbolmy $x,y,z,...$ tak pre vsetki prvky, mozeme polozit $x\odot y=\exp (\ln x \ln y)$ , pochopitelne jednotkovy prvok je $e$ .
Edit. Ja by som oznacil takto to teleso $\mathbb R^*_+$ , aby bolo uplne jasne ze v nom nie je 0.

Pavel · 30. 10. 2015 08:06 — Editoval Pavel (30. 10. 2015 08:08)

↑ vanok:

Výborně, jen bych to zjednodušil:

$x\odot y=x^{\ln y}$

Operace $\odot$ je komutativní, neutrální prvek je Eulerovo číslo $\mathrm e$ , inverzní prvek pro $x$ je $\mathrm e^{\frac 1{\ln x}}$ . Všechny zbylé požadované vlastnosti se snadno ukážou.

↑ byk7:

Neutrální prvke vůči $\oplus$ je $1$ .

vanok · 30. 10. 2015 08:49

↑ Pavel:
Umyselne som to nechal v tej forme, aby sa okamzite videla komutativita operacia $\odot$ , ako aj ostatne vlasnosti. ( to je tiez otazka, ze toto teleso vidim ako kopiu klasickeho realneho telesa pouzitim exp a evidentnou adaptaciou operacii telesa... Co tiez ilustruje pojem isomorfismu).
Pochopitelne neutralny prvok pre $\odot$ volam jednotkovy.

Ako su tvoje pramene a motivacie tykajuce sa tejto otazky?

Pavel · 30. 10. 2015 10:27

↑ vanok:

Snahou bylo z daného komutativního tělesa vytvořit komutativní těleso nové tak, že se původní aditivní operace nahradila operaci multiplikativní. Otázkou je jak definovat novou multiplikativní operaci, popř. zda je nutné změnit nosič původního tělesa.

Vyšel jsem z komutativního tělesa kladných reálných čísel $(\mathbb R,+,\cdot)$ s klasickým sčítáním a násobením. Nahradil jsme sčítání násobením a hledal jsem "nové násobení", aby nová struktura byla komutativním tělesem. Stejnou úvahu bychom mohli použít i na výše uvedenou strukturu $(\mathbb R^+,\oplus,\odot)$ .

Určete interval $I\subseteq\mathbb R^+$ a binární operací $\boxdot$ definovanou na $I$ tak, aby struktura $(I,\boxplus,\boxdot)$ byla komutativním tělesem, je-li binární operace $\boxplus$ definována předpisem $a\boxplus b=a^{\ln b}$ .

vanok · 30. 10. 2015 11:14 — Editoval vanok (30. 10. 2015 19:03)

Ano, a na koniec mame isomorphne teleso z klasickym $(\mathbb{R},+,.)$ .
Pre istotu napisem pre citatelov podrobnejsie riesenie ako vyssie.
Ak jeho prvky su X,Y,.... Tak exp X= x, exp Y= x ( x,y v telese ↑ Pavel:)
Potom morfismus pre + da $x\oplus y=\exp (X+Y)=\exp X \exp Y=xy$
Pochopitelne potom je nevyhnutne $\exp (XY)=\exp (\ln x\ln y)=x\odot y$
Kde sa okamzite vidi kompatibilita aj z druhym zakonom.....

Osobne som si uvedomil ze studenti casto nechapu ako treba pojem izomorfismu, preto som urobil mega cvicenia pri konstrukcii konecnych telies vdaka ireduktibilnym polynomom. Kde sa objavia isomorfne telesa. ....

Pavel · 30. 10. 2015 11:58

↑ vanok:

Máš pravdu, takhle jsem se na to nedíval. Je to vlastně triviální. Takže z toho plyne, že je-li

$a\boxplus b=a^{\ln b}$ , pak

$a\boxdot b=\mathrm e^{(\ln a)^{\ln\ln b}}$

Pak je ale nutné zúžit nosič tělesa na interval $I=(1,+\infty)$ . Tj. $(I,\boxplus,\boxdot)$ je komutativní těleso, nulový prvek je $\mathrm e$ a jednotkový prvek je $\mathrm e^{\mathrm e}$ .

Matematické Fórum

#1 29. 10. 2015 22:12

Těleso kladných reálných čísel

#2 29. 10. 2015 23:16

Re: Těleso kladných reálných čísel

#3 29. 10. 2015 23:31

Re: Těleso kladných reálných čísel

#4 30. 10. 2015 00:59 — Editoval vanok (30. 10. 2015 02:04)

Re: Těleso kladných reálných čísel

#5 30. 10. 2015 08:06 — Editoval Pavel (30. 10. 2015 08:08)

Re: Těleso kladných reálných čísel

#6 30. 10. 2015 08:49

Re: Těleso kladných reálných čísel

#7 30. 10. 2015 10:27

Re: Těleso kladných reálných čísel

#8 30. 10. 2015 11:14 — Editoval vanok (30. 10. 2015 19:03)

Re: Těleso kladných reálných čísel

#9 30. 10. 2015 11:58

Re: Těleso kladných reálných čísel

Zápatí