Matematické Fórum

inconnu

Zdravím,

potřeboval bych poradit s následujícím "důkazem".

Chci ověřit, že
$(A^{C}\cap B)\cup (B^{C}\cap C)\cup (A\cap C^{C})\cup (A\cap B\cap C)\cup (A^{C}\cap B^{C}\cap C^{C})=U$ ,
kde $A^{C} \ldots komplement A$ atp., U je "univerzální" množina obsahující jak A, jak B, tak C.

Nevíte, kde je ten "fígl" (jestli tam nějaký je), abych si ušetřil šílené úpravy, do kterých bych se stejně zapletl? Přes Vennovy diagramy mi to sedí, ale potřeboval bych to dokázat nějakým jiným, "elegantnějším" (=matematičtějším), způsobem.

Pozn. Platí, že ty jednotlivé "závorky" jsou vzájemně disjunktní.

OndrasV · 30. 10. 2015 05:41

Každou dvojici průniků si rozlož na sjednocení dvou průniků typu $(A^{C}\cap B)= (A^{C}\cap B\cap C)\cup ( A^{C}\cap B\cap C^{C})$ . První člen dáš k prvnímu průniku tří množin a druhý k druhému,co obsahuje samé doplnky. Tak z nich uděláš průniky dvou množin a tak postupně pokračuješ.

inconnu

Čili po té "první" úpravě jsem došel k
$\ldots =(A^{C}\cap B\cap C)\cup (A\cap B^{C}\cap C)\cup (A\cap B\cap C^{C})\cup (A\cap B\cap C)\cup$
$\cup (A^{C}\cap B\cap C^{C})\cup (A^{C}\cap B^{C}\cap C)\cup (A\cap B^{C}\cap C^{C})\cup (A^{C}\cap B^{C}\cap C^{C})$ .

Jak mám tedy pokračovat dál?

OndrasV · 03. 11. 2015 05:02

↑ inconnu: Páruj průniky, které se liší jen v jedné množině a dostaneš průniky dvou množin a pak budeš sjednocovat průniky dvojic, které se liší jen v jednom ....

inconnu · 04. 11. 2015 01:26

OK, už mi to vyšlo.

$(A^{C}\cap B\cap C)\cup (A^{C}\cap B\cap C^{C})=\ldots =A^{C}\cap B$
$(A\cap B^{C}\cap C)\cup (A^{C}\cap B^{C}\cap C)=\ldots =B^{C}\cap C$
$(A\cap B\cap C^{C})\cup (A\cap B\cap C)=\ldots =A\cap B$
$(A\cap B^{C}\cap C^{C})\cup (A^{C}\cap B^{C}\cap C^{C})=\ldots =B^{C}\cap C^{C}$

$(A^{C}\cap B)\cup (A\cap B)=\ldots =B$
$(B^{C}\cap C)\cup (B^{C}\cap C^{C})=\ldots =B^{C}$

$B\cup B^{C}=\Omega$
$\square$

Díky!