Matematické Fórum

kubicka · 31. 10. 2015 09:39

Zdravím,

dnes jsem se začal připravovat na zápočtový test, ve kterém se objeví řady a zjistil jsem, že jim vůbec nerozumím. Proto bych se chtěl zeptat, zda-li neexistuje nějaký super postup, jak u geometrické řady vypočítat q.

Například u této řady:
$\sum_{k=1}^{\infty }\frac{3^k+2^k}{6^k}$

Předem díky za pomoc ;)

Sherlock · 31. 10. 2015 11:10

Podle mě chtít vypočítat $q$ u této řady (tak jak je) je dost netriviální záležitost. Doporučil bych si to rozdělit na 2 řady a každou počítat zvlášť.

xstudentíkx

↑ Sherlock:

Zkoušela jsem příklad řešit a myslím si, že tato řada sama o sobě geometrická ani není.

Pokud jí rozdělím na dvě řady. Skutečně dostanu dvě geometrické řady, kde zjistím kvocienty a součty těchto řad. Následně díky tomu zjistím součet této řady, jenž je $\frac{3}{2}$ .
Z toho je zřejmé, že je řada konvergentní a potom (pokud jde o geometrickou řadu) by měl platit vzorec pro součet $s_{n}=\frac{a_{1}}{1-q}$ , který když použiji, dostanu $q=\frac{4}{9}$ .
Což pro tuto řadu neplatí: $a_{1}=\frac{5}{6}$ , $a_{2}=\frac{13}{36}$ . Potom platí:
$a_{2}=a_{1}q=\frac{20}{54}\not =\frac{13}{36}$ .

Pokud něco používám špatně, tak bych prosila o vysvětlení.

Sherlock · 31. 10. 2015 16:02

↑ xstudentíkx:

Ano, nebude geometrická. Tak, jak jsi to udělala, by to šlo :), možná na to jde jít i kratší cestou:

Pro geometrickou posl. musí platit, že $\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=q$ (tady je důležité, že $q$ je konstantní). Ovšem u té naší po dosazení dostáváme:

$\frac{\frac{3^{k+1}+2^{k+1}}{6^{k+1}}}{\frac{3^{k}+2^{k}}{6^{k}}}=\frac{3^{k+1}+2^{k+1}}{3^{k}+2^{k}}\cdot \frac{1}{6}=q$

Což zřejmě konstantní není (a to stačí ukázat třeba tak, že to porovnáš pro $k=1$ a $k=2$

xstudentíkx · 31. 10. 2015 16:57

↑ Sherlock:

Dobře, děkuji za potvrzení a ukázání jiného řešení :)

Matematické Fórum

#1 31. 10. 2015 09:39

geometrická posloupnost q

#2 31. 10. 2015 11:10

Re: geometrická posloupnost q

#3 31. 10. 2015 11:57 — Editoval xstudentíkx (31. 10. 2015 11:59)

Re: geometrická posloupnost q

#4 31. 10. 2015 16:02

Re: geometrická posloupnost q

#5 31. 10. 2015 16:57

Re: geometrická posloupnost q

Zápatí