Matematické Fórum

liamlim

Pěkný večer všem. Rozmýšlím nad jedním problémem, který by mi asi pomohl ve využití takových mých speciálních čísel. Definoval jsem následující:

$(a,b) = a^{\ln b}$
$(a) = (a,a)$

Není vůbec těžké dokázat následující:

1. $(a,b) = (b,a)$
2. $(a^n,b) = (a,b^n)$
3. $(a)^n = (a^{\sqrt{n}})$
4. $(ab) = (a)(b)(a,b)^2$
5. $(a,b) = (a^{\sqrt{\log_a b}})$
6. $(a)(b) = \frac{(ab)}{(a^{\sqrt{\log_a b}})}$

Tedy /1/ zaručuje komutativitu. Ta je velmi užitečná. Velmi důležitá pro odvození některých dalších vztahů je /2/. Vztah, díky kterému můžeme umocňovat na přirozený exponent je /3/. Vztah /4/ je do důležitý pro vztah násobení /6/. A konečně vztah /5/ je důležitý převod mezi dvojitými a jednoduchými čísly. Díky němu a vztahu /4/ můžeme odvodit násobení (a)(b).

OTÁZKY:
- Z výše uvedeného již lze vyjádřit (a,b)(c,d) ale nevypadá tento součin vůbec hezky. Dokázal by jej někdo upravit do použitelné podoby?
- Napadá někoho ještě nějaká zajímavá vlastnost? Možná jsem příliš velký optimista, ale čísla (n) jsou zajímavým rozšířením čísel přirozených - to pokud nahradíme přirozený logaritmus například logaritmem o základu 2. Kdyby měl někdo nějaké nápady, jsou vítány.
- a ještě... Odsud již můžeme napsat vzorec pro umocňování (a,b)^n. Nevypadá ale zase vůbec hezky. Kdyby někdo přišel na nějaké zjednodušení...

edit: těch pěkných vlastností lze vymyslet spoustu. Například: $(a)^{\log_a b^2} = (b)^{\log_b a^2}$ . Můžete zkusit vymyslet další.

edit2: například $\frac{(a)}{(b)} = \left(\frac{a}{b},ab\right)$ odkud plyne $(b)^{-1} = \left(\frac{1}{b},b\right)$ .

edit3: edit2 vlastně asi nedává smysl. Pak by totiž podle /3/ platilo $(b)^{-1} = (b^{\text{i}})$ což vypadá divně.