Matematické Fórum

terymath · 02. 11. 2015 17:03

Ahoj, mám vyřešit goniometrickou rovnici v oboru $\mathbb{R}$ .
Nevíte někdo, jak to co nejjednodušeji vyřešit? Děkuji

$\sqrt{2} (\sin t + \cos t) = \text{tg}^{3} t + \text{cotg}^{3} t$

Zdroj: MO ročník 55, odd. A, I-1

byk7 · 02. 11. 2015 19:25

Platí $2\ge\sqrt{2} (\sin t + \cos t) = \text{tg}^{3} t + \text{cotg}^{3} t\ge 2$ , což už by mělo řešení podstatně zjednodušit.

terymath · 30. 11. 2015 14:45

↑ byk7:
Pořád ale nevím, jak pokračovat dál
Našla jsem řešení http://mo.webcentrum.muni.cz/media/440695/A55i.pdf
ale nechápu, proč se stanoví zrovna ty podmínky a jak se z $cotg^{3}t$ stane $\frac{1}{tg^{3}t}$

Jj · 30. 11. 2015 14:53

↑ terymath:

Dobrý den.

Řekl bych, že $tg\, t=\frac{\sin t}{\cos t}, \quad cotg\, t = \frac{\cos t}{\sin t}\Rightarrow cotg \,t = \frac{1}{tg \,t}\Rightarrow \cdots$

terymath · 30. 11. 2015 15:10

↑ byk7:
↑ Jj:
Děkuji, to už jsem již pochopila

Ale pořád mi není jasné, jak např. na intervalu $t\in (0; \frac{1}{2}\pi )$
stanovim, že $sin t + cos t \le 2$ a $tg^{3}t + cotg^{3}t \ge 2$
a pak zjistím odhad: $L \le \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2 \le P$ a z toho všeho dostanu $L = P = 2$ => $t = \frac{1}{4}\pi$

misaH · 30. 11. 2015 18:01

↑ terymath:

sin t aj cos t má maximálnu hodnotu 1, nie?

byk7 · 05. 12. 2015 23:51

↑ terymath:

Nerovnost $\sin(t) + \cos (t) \le 2$ sice platí (i když rovnost nikdy nenastane), ale já tvrdím silnější věc, a to, že $\sqrt2\bigl(\sin(t) + \cos (t)\bigr) \le 2$ neboli $\sin(t) + \cos (t) \le \sqrt2$ . Důvod platnosti můžeme nahlédnout po použití goniometrický vzorců, díky nimž víme, že $\sin(t)+\cos(t)=\sqrt2\sin$x+\frac{\pi}{4}$$ (odtud jde vidět $\sin(t) + \cos (t) \ge -\sqrt2$ ), nebo pomocí diferenciálního počtu.

Při řešení jsem se původně unáhlil, ona nerovnost $\tan^3(t)+\cot^3(t)\ge2$ platí pouze, pokud je $\tan^3(t)$ kladné číslo. Pokud je $\tan^3(t)<0$ použije podobnou nerovnost: $\tan^3(t)+\cot^3(t)\le-2$ . První je důsledkem nerovnosti $x+\tfrac1x\ge2$ pro $x>0$ a druhá je důledkem $x+\tfrac1x\le-2$ pro $x<0$ . Obě si zkus dokázat.