Matematické Fórum

rama27 · 04. 11. 2015 21:22

Ahoj, zde je zadání mého problému (snad nevadí, že v angličtině - density je česky hustota):

Assume that X has the standard normal distribution. Find the density of: $Y = X^{3}$

Šel jsem na to tahle:

$F_{x}(t)=\int_{-\infty }^{t}f(x)dx$

Ovšem tady už nevím, jak dál. Který integrál mám konkrétně počítat? Tenhle: $\int_{-\infty }^{t}\frac{1}{2\pi }\cdot \mathrm{e}^{-\frac{x^{6}}{2}}dx$
Ten ale nejde spočítat...
Díky, za každou radu!

kajzlik

Ahoj,

trik je v tom, že vyjádříš vhodně tu transformovanou veličinu. Označme $G(y)$ distribuční funkci té transformované veličiny. Potom z definice je
$G(y) = P(Y\leq y)$ .

Teď se jen dosadí za $Y$ , upraví se argument a vyjde se z definice distribuční funkce normálního rozdělení, ovšem pro náhodnou veličinu $X$ .
Hustotu potom dostaneš jako derivaci distribuční funkce.
Zvládneš dodělat ?

rama27 · 05. 11. 2015 10:14

Díky, jen pro kontrolu:
standartní normální rozdělení: $F_{x}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\cdot \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}$
dosadím $X^{3}$ a spočítám derivaci:
$\frac{\partial F_{x}(X^{3})}{\partial x} =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\cdot \mathrm{e}^{-\frac{X^{6}}{2}}\cdot (-6\cdot \frac{X^{5}}{2})$

A mám hustotu, je to tak správně? :)

jarrro · 05. 11. 2015 11:51

nie
$P$X^3<x$=P$X<\sqrt[3]{x}$$
Teda $F_{X^3}{$x$}=F_X$\sqrt[3]{x}$$
cize
$f_{X^3}$x$=f_X$\sqrt[3]{x}$\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}$

Matematické Fórum

#1 04. 11. 2015 21:22

Statistika - Hustota standartního normálního rozdělení

#2 04. 11. 2015 21:58 — Editoval kajzlik (04. 11. 2015 22:04)

Re: Statistika - Hustota standartního normálního rozdělení

#3 05. 11. 2015 10:14

Re: Statistika - Hustota standartního normálního rozdělení

#4 05. 11. 2015 11:51

Re: Statistika - Hustota standartního normálního rozdělení

Zápatí