Matematické Fórum

Somar · 07. 11. 2015 01:45

Zdravím, prosím o pomoc s tímto příkladem: řešte $\int_{}^{}\sqrt{x^2+y^2}ds$ nad křivkou $\gamma : x^2+y^2-4x=0; y \ge 0$ .

kajzlik

Ahoj,

nejprve parametrizuj křivku $\gamma$ . Pomůže, když levou stranu rovnice křivky převedeš na součet čtverců. Pak bude hned vidět, jakou parametrizaci použít.

Somar · 07. 11. 2015 12:40

↑ kajzlik: Ahoj, dobře. Podle zadání mi vyšlo, že je to část kružnice nad osou x se středem [2;0] a poloměrem 2. Mohu si to tedy parametrizovat jako $x =x ; y=\sqrt{4x-x^2}$ pro $0\le x\le 4; 0\le y\le \sqrt{4x-x^2}$ ?

kajzlik

Ok, takovou parametrizaci lze samozřejmě použít, původně jsem zamýšlel parametrizovat to se siny a cosiny, ale dokončíme to takhle. Jen je nepřehledné takto značit parametr křivky, obvykle se volí $t$ .

Rovnice křivky jsou tedy $x(t) = t, y(t) = \sqrt{4t-t^2}, t \in [0,4].$ Nyní je již možné přejít od křivkového integrál k určitému vztahem

$\int_\gamma f(x,y) ds = \int_a^b f(x(t),y(t)) \cdot \sqrt{ (x'(t))^2+(y'(t))^2} dt$ .

Nyní jen dosadit a zintegrovat.

Somar · 07. 11. 2015 13:34

↑ kajzlik: A mohl bys mi prosím napsat i tu tvou zamýšlenou parametrizaci ? Mně to po dosazení a zintegrování vychází -16 a podle vyučujícího je výsledek $\pi$ , tak že bych to zkusil přepočítat druhým způsobem. :)

kajzlik

Nedopočítával jsem to do konce, takže nevím, jak to má přesně vyjít.

Druhá parametrizace bude $x(t) =2+2\cos t, y(t)= 2\sin t, t \in[ 0, \pi]$

Somar · 07. 11. 2015 14:05

↑ kajzlik: Tak jsem to přepočítal a oběma způsoby mi vyšel výsledek 16, nevím tedy kde vzal vyučující výsledek $\pi$ . Asi se v tom už nebudu šťourat a uvidím, jak se na to bude tvářit :). Každopádně moc děkuju za pomoc a za tvůj čas! :)

Matematické Fórum

#1 07. 11. 2015 01:45

Křivkový integrál

#2 07. 11. 2015 11:31 — Editoval kajzlik (07. 11. 2015 11:47)

Re: Křivkový integrál

#3 07. 11. 2015 12:40

Re: Křivkový integrál

#4 07. 11. 2015 13:20 — Editoval kajzlik (07. 11. 2015 13:26)

Re: Křivkový integrál

#5 07. 11. 2015 13:34

Re: Křivkový integrál

#6 07. 11. 2015 13:37 — Editoval kajzlik (07. 11. 2015 13:38)

Re: Křivkový integrál

#7 07. 11. 2015 14:05

Re: Křivkový integrál

Zápatí