Matematické Fórum

Jakub1 · 07. 11. 2015 09:45

Dobrý deň, prosím, mohli by ste mi skontrolovať postup riešenia môjho príkladu, prípadne opraviť chyby? Ďakujem.

"a) Sú dané regulárne štvorcové matice $U$ a $W$ . Zistite všetky také matice $V$ , pre ktoré platí: $UVW=U+W$ ."

Moje riešenie: Ak $U$ a $W$ sú štvorcové regulárne matice, potom k nim existujú inverzné matice $U^{-1}$ a $W^{-1}$ . Teda rovnicu možno nimi násobiť a dostávam: $V=U^{-1}+W^{-1}$ .

"b) Predpokladajme však, že matica $W$ bude singulárna. Nájdite také matice $U$ , že matica $V$ nemôže existovať."

Moje riešenie:

Nech $W$ je singulárna matica a zároveň $U$ je regulárna matica. Potom existuje $U^{-1}$ a rovnicu prenásobíme zľava. Dostaneme: $VW=I+U^{-1}W$ . Rovnicu však môžeme previesť na tvar $\left( V-U^{-1} \right)W=I$ , čo však nemôže nastať, lebo $W$ je singulárna a na pravej strane stojí identita $I$ , ktorá je regulárna. Preto súčin na ľavej strane bude vždy singulárny, hoci pravá strana bude regulárna. Riešenie teda neexistuje.

Nech $W$ je singulárna matica a zároveň $U$ je singulárna matica. Potom ani k jednej neexistuje inverzná matica, a teda rovnicu nemôžeme prenásobiť. Vieme však, že $U+V$ môže byť alebo singulárna matica, alebo regulárna matica. Ak je $U+V$ regulárna matica, potom neexistuje taká matica $V$ , pretože súčin na ľavej strane by bol nutne singulárny (aj keby mala byť matica $V$ regulárna). Ak by však $U+V$ bola singulárna matica, pr. $U+V=2U$ , potom by rovnica mohla mať riešenie.

OndrasV · 07. 11. 2015 10:46

↑ Jakub1: V a) a u prvního případu b) nenacházím chybu.

Matematické Fórum

#1 07. 11. 2015 09:45

Maticová rovnica

#2 07. 11. 2015 10:46

Re: Maticová rovnica

Zápatí