Matematické Fórum

bert.blader · 09. 11. 2015 19:57

Zdravím,

mám za úkol dokázat správnost limity posloupnosti dle definice. Potřeboval poradit, co s tím.
Mám následující zadání:

$\lim_{n\to +\infty } \frac{(-1)^n-3}{n^2} = 0$

Vím, že podle definice platí:

$|\frac{(-1)^n-3}{n^2} - 0| < \varepsilon$

vím, že výraz vlevo je vždy záporný, tak před něj dám minus a odstraním absolutní hodnotu (mohu to tak udělat?)

$\frac{-(-1)^n+3}{n^2} < \varepsilon$

Nyní vím, že pro jakékoli n je v čitateli kladné číslo, buď 2 a nebo 4

$\frac{2}{n^2} < \varepsilon$
nebo
$\frac{4}{n^2} < \varepsilon$

nyní převedením dostanu

$n > \sqrt{\frac{2}{\varepsilon }}$
nebo
$n > {\frac{2}{\sqrt\varepsilon }}$

tento vztah platí pro všechna n pro vhodně zvolené okoli Epsilon, takže jsem limtiu ze zadání dokázal.
Lze to takto udělat? Děkuji.

vanok · 09. 11. 2015 20:03

Ahoj ↑ bert.blader:,
I ked sa v tvojom vlakno objavuju prvky pouzitelne v dokaze, ktory hladas, tak to co si napisal nie je dokaz.

Ako prve napis dosledne definiciu tohto: $\lim_{n\to +\infty } \frac{(-1)^n-3}{n^2} = 0$
( ci ze aj kvatifikatory).

bert.blader

↑ vanok:
Takže definice zní takto:

$\lim_{n\to+\infty } a_{n} = a$

$\vee \varepsilon > 0 \ \exists n_{0} \in N \vee n \in N: n>n_{0} \Rightarrow |a - a_{n}| < \varepsilon$

To znamená, že vždy najdu nějaké n0 takové, že všechny hodnoty z oboru hodnot všech n > n0 budou náležet nějakému zvolenému Epsilonovému okolí.
Takže v mé nerovnici $|a - a_{n}| < \varepsilon$ se snažím zjistit, pro která n nerovnice platí.

vanok · 09. 11. 2015 23:46 — Editoval vanok (09. 11. 2015 23:47)

No urobil si krok dopredu. Tu nasleduje mozna schema dokazu.

Presnejsie mozes povedat, ze vyberies nejake lubovolne kladne $\varepsilon <1$ . (pre vädcie $\varepsilon$ dokaz co nasleduje sa dokaze este lahsie) pre toto $\varepsilon$ musi platit, ze $|a - a_{n}| < \varepsilon$ .
To znamena ze musis ukazat, ze existuje $n_0$ take ako v tvojej definicii
Take $n_0$ ( ako si napisal v tvojom prvom prispevku, no vsak nedal do suvisu z definiciou) musi byt take, ze $n > \sqrt{\frac{2}{\varepsilon }}$ ako aj $n > {\frac{2}{\sqrt\varepsilon }}$ .
Tak vyber $n_0= [ {\frac{2}{\sqrt\varepsilon }}]+1$ je dobry.
Tie [.] znamenaju cela cast cisla.

bert.blader · 10. 11. 2015 10:41

↑ vanok:

Děkuji,

takže to chápu tak, že chci najít $n_{0}$ , přičemž pro každé n platí $n > n_{0}$ a zároveň musí být splněna podmínka $|a - a_{n}| < \varepsilon$ .

Z nerovnice mi vyšla dvě řešení: $n > \sqrt{\frac{2}{\varepsilon }}$ a $n > \frac{2}{\sqrt{\varepsilon }}$

jelikož číslo $\frac{2}{\sqrt{\varepsilon }}$ je větší než $\sqrt{\frac{2}{\varepsilon }}$ , tak budu dál v souvislosti s $n_{0}$ pracovat s větším čílsem, tedy s $\frac{2}{\sqrt{\varepsilon }}$ .

za $n_{0}$ zvolím $n_{0} = [\frac{2}{\sqrt{\varepsilon }}] + 1$ , je zřejmé, že $[\frac{2}{\sqrt{\varepsilon }}] + 1 > \frac{2}{\sqrt{\varepsilon }}$ , takže podmínka musí být splněné i pro každé $n > n_{0}$ .

Chápu to tedy tak, že pokud bych si za $n_{0}$ zvolil NAPŘÍKLAD $n_{0} = [\frac{2}{\sqrt{\varepsilon }}] + 139$ , tak bude podmínka také splněna. Takže $n_{0} = [\frac{2}{\sqrt{\varepsilon }}] + 1$ není jediná možnost, jak zvolit $n_{0}$ , je to tak?

Děkuji za případnou opravu. Snad se v tom, co jsem napsal, vyznáte.

vanok · 10. 11. 2015 11:10

↑ bert.blader:,
Dobre si pochopil, ze som vybral to $n_{0}$ co bolo dobre pre obe situacie, max z oboch.
A mas pravdu ze su mozne aj ine vybery. To je prave to pekne, ze mozes dokazat tvoju " matematicku vetu" viacerimi cestamy. Dobre pokracovanie v matematike.
Dufam, ze vidis rozdiel medzi tvojim prvym prispevkom a tym co treba urobit na ten dokaz.

bert.blader · 10. 11. 2015 11:21

↑ vanok:

Tak jsem rád, že už to chápu. Ještě jednou děkuji za pomoc.

Matematické Fórum

#1 09. 11. 2015 19:57

Oveření limity dle definice

#2 09. 11. 2015 20:03

Re: Oveření limity dle definice

#3 09. 11. 2015 20:57 — Editoval bert.blader (09. 11. 2015 20:58)

Re: Oveření limity dle definice

#4 09. 11. 2015 23:46 — Editoval vanok (09. 11. 2015 23:47)

Re: Oveření limity dle definice

#5 10. 11. 2015 10:41

Re: Oveření limity dle definice

#6 10. 11. 2015 11:10

Re: Oveření limity dle definice

#7 10. 11. 2015 11:21

Re: Oveření limity dle definice

Zápatí