Matematické Fórum

sitatunga · 17. 11. 2015 17:01

Ahoj, potřebovala bych pomoc, protože si vůbec nevím rady. Mám zadanou soustavu lineárních diferenciálních rovnic $S'=C,\quad C'=-S$ s počáteční podmínkou $S(0)=0, \; C(0)=1,$ přičemž S a C jsou jejím řešením, a mám ukázat, že:
1) funkce S, C jsou definované pro všechna reálná čísla
2) S je rostoucí na $\langle 0,\frac{\pi}{2}\rangle$
3) platí $C(x)=S(\frac{\pi}{2}-x)$
4) platí $\lim\limits_{x \rightarrow 0}\tfrac{S (x)}{x}=1$
5) součtový vzorec pro S (tedy $S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)S(y)$ )
Hledala jsem i různě ve skriptech a po internetu, ale nikde jsem nic nenašla a sama na to nemůžu přijít. Prosím, pomohl by někdo?

jarrro · 17. 11. 2015 17:20 — Editoval jarrro (17. 11. 2015 17:21)

2)ma kladnu derivaciu
4)LHospital

sitatunga

↑ jarrro:
Jaj, na L'Hospitala jsem úplně zapomněla, děkuju moc.
Jenom pro 2) jsem nad tou kladnou derivací uvažovala, ale to bych musela ukázat, že je kladná na celém intervalu, a u toho jsme se právě zasekla

Rumburak · 18. 11. 2015 13:39

↑ sitatunga:

Ahoj.

Pomocí daných informací se dá dokázat:

$S^2(x) + C^2(x) = 1$ ,

$$S(x)C(y) + C(x)S(y) - S(x+y)$^2 + $C(x)C(y) - S(x)S(y) - C(x+y)$^2 = 0$ .

Důkaz se provádí zderivováním těchto rovnic. Z druhé rovnice plynou vzorce pro součet argumentů.

sitatunga · 18. 11. 2015 20:50

↑ Rumburak: aha, to je chytré, děkuju.

Matematické Fórum

#1 17. 11. 2015 17:01

Důkaz vlastností sin, cos z diferenciálních rovnic

#2 17. 11. 2015 17:20 — Editoval jarrro (17. 11. 2015 17:21)

Re: Důkaz vlastností sin, cos z diferenciálních rovnic

#3 17. 11. 2015 19:33 — Editoval sitatunga (17. 11. 2015 20:09)

Re: Důkaz vlastností sin, cos z diferenciálních rovnic

#4 18. 11. 2015 13:39

Re: Důkaz vlastností sin, cos z diferenciálních rovnic

#5 18. 11. 2015 20:50

Re: Důkaz vlastností sin, cos z diferenciálních rovnic

Zápatí