Matematické Fórum

Bopinko · 21. 11. 2015 14:31

Pridávam sem ďalší problém, ulohu, ktorá sa dá chápať v dvoch prípadoch, a rád by som to tu predebatoval.

Nech V je vektorový priestor R
n a U, W sú vektorové podpriestory priestoru V. Potom U ∪ W je vektorový
podpriestor vtedy a len vtedy, keď U ⊆ W alebo W ⊆ U.

1. pohlad - pochopil som to tak, ze vlastne tieto mnoziny sa rovnaju, ak su si navzajom podmnozinami, a teda maju rovnake prvky, a teda mozem to chapat tak, ze ich zjednotenie, bude ako keby prienik, a tym padom, je to podpriestor ?

2. pohlad- ak to nie je pravda, ze ak su podmnozinami navzajom, tak nemaju spolocne prvky, a tak hladam prvy možny protipriklad a to napr ze vektor (1,0,0) bude patrit U a vektor (0,1,0) bude patrit W, a tym padom budu obidva patrit do zjednotenia ale ich sučet sa bude rovnat (1,1,0) čo už do uch zjednotenia nepatri..čiže to podpriestor nebude

vanok · 21. 11. 2015 16:20

Ahoj
1. Prienik dvoch podpriestorov je vzdy podprietor.
Union je podpriestor ako pises, je automaticky podpriestor

2. To mas dobru myslienku.
Vies to napisat aj vseobecne?

Bopinko · 21. 11. 2015 16:26

↑ vanok:

Bohužial nie, jedine použit tento kontrapríklad ako dôkaz, dôkazy mi absolutne nejdu, aj ked chápem definície a aj všetko čo k tomu patrí..

vanok · 21. 11. 2015 16:43

No tak skus to ukazat aspon na inom priklade.

vanok · 22. 11. 2015 20:48 — Editoval vanok (22. 11. 2015 20:49)

Ako vidim, nemas dalsie myslienky.
Tak ti tu pridam jeden dokaz

Predpokladajme, ze $U\not\subset W;W\not\subset U$
Tak existuje $x\in U;x\notin W$ A tiez $y\in W;y\notin V$ ; a predpokladame, ze $U \cup W$ vektorovy podpriestor z $V$
Potom vektor $x+y$ je v podpriestore $U \cup W$ a preto $x+y\in U$ alebo $x+y\in W$
Povedzme, ze $x+y \in U$ , ale potom $(x+y)-x=y \in U$ ale to je spor. Co ukoncuje dokaz.