Matematické Fórum

Schnappi · 22. 11. 2015 22:58

Vedel by mi niekto poradiť ako riešiť tieto typy úloh?:

a) Určete počet různých zobrazení množiny $X = \{1,2,3,4\}$ do množiny $Y = \{a,b,c\}$ .

b) Určete počet různých injektivních (tj. prostých) zobrazení množiny $X = \{1,2,3\}$ do množiny $Y = \{a,b,c\}$

c) Kolik existuje symetrických binárních relací na množině $A = \{a,b\}$ ?

d) Mějme libovolnou neprázdnou množinu A, kde |A| = n (>1). Kolik na ní existuje binárních relací, které jsou částečným uspořádáním a zároveň ekvivalencí?

...

Ďakujem.

Sherlock

Pro zobrazení platí že musíš KAŽDÉMU prvku z X přiřadit PRÁVĚ JEDEN prvek z Y.
(pozn. nikde se nepíše, že musíš využít všechny prvky z Y)

a) Kolik různých hodnot by mohlo nabývat f(1) ? A kolik f(2),..f(4) ?

návodné příklady:

kolik existuje zobrazení X->Y pro množiny:
X={3} Y={1,2,3} ?

kolik pro množiny:
X = {1,2} Y={1,2} ?

b) Každému prvku z X musíš přiřadit jeden RŮZNÝ prvek z Y .. možností moc nebude.
jedna z nich je třeba f(1)=b, f(2)=c, f(3)=a

c) asi jít na to postupně - začít relací co má 0 prvků a skončit 4 prvkovou relací.
(0 prvková je symetrická triviálně)

pak musí platit, že pokud tam patří (a,b), patří tam i (b,a)

d) asi by bylo dobré najít si definice částečného uspořádání a ekvivalence .. pro prvky z A pak budou platit obě :)

Schnappi

odpoved na a) je teda $|X|\cdot |Y|$ ?

b) odpoved je 9? je mozne ze je odpoved pre lubovolne zobrazenie f : X-> Y je ${|X|\choose 2}+{|Y|\choose 2}$ ? Prepisal som si definiciu inj. zobrazenia na: $\forall x,y\in X: (f(x)=f(y) \Rightarrow x=y ) \Leftrightarrow ( f(x) \neq f(y) \vee x=y)$ a vypisal jednotlive moznosti kedy v pripade prikladu b: a!=b, b!=c, a!=c, 1!=2, 1!=3, 1!=4, 2!=3, 2!=4, 3!=4

c) ako si predstavit 0-prvkovu relaciu? tom celkom nerozumiem, pocet takychto relacii by mal byt 0, alebo sa mylim?
inka mi teda vyslo 5:
1-prvkove: {aRa,bRb}
2-prvkove: {aRa,bRb},{aRb,bRa}
3-prvkove: ziadne relacie
4-prvkove: {aRa,bRb,aRb,bRa}
Nie je nejaky rychlejsi sposob ako to vypisovat? nejaka metoda ako toto zistit pre lubovolne velku mnozinu A?

d) ak je relacia ciastocne usporiadanie a ekvivalencia, potom musi byt reflexivna, symetricka, tranzitivna a antisymetricka zaroven, to som pochopil :) ale... dalej naozaj neviem ako postupovat

Sherlock

a) asi jsem nedal dobrý příklad :(

f(1) .. 3 možnosti, stejně pro f(2),f(3),f(4)
tj. 3*3*3*3

Ono totiž množina všech zobr. $f:X\rightarrow Y$ se dá zapsat jako $Y^{X}$ , pro počet všech zobrazení pak $|Y|^{|X|}$ .

b) není to nějak složité? mně vyšlo šest.. jedná se vlastně o počet permutací a,b,c, tj $3!=6$

co můžeš přiřadit f(1),f(2),f(3):
(a,b,c),(b,c,a),(c,a,b),(b,a,c),(c,b,a),(a,c,b)

c) 0 prvková je prázdná množina, R = {}
1 prvkové jsou 2, tam máš překlep
3 prvkové relace určitě existují :)

d) zkus vymyslet nějakou relaci, která je zároveň symetrická a antisymetrická

Matematické Fórum

#1 22. 11. 2015 22:58

Relácie a zobrazenia

#2 22. 11. 2015 23:29 — Editoval Sherlock (22. 11. 2015 23:48)

Re: Relácie a zobrazenia

#3 23. 11. 2015 00:04 — Editoval Schnappi (23. 11. 2015 00:11)

Re: Relácie a zobrazenia

#4 23. 11. 2015 00:40 — Editoval Sherlock (23. 11. 2015 00:42)

Re: Relácie a zobrazenia

Zápatí