Matematické Fórum

radimkupcak · 23. 11. 2015 16:31

Zdravím, potreboval bych poradit s timto prikladem, predem moc dekuji za pomoc.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-11/92662_Bez%2Bn%25C3%25A1zvu.png

Brzls · 23. 11. 2015 18:08 — Editoval Brzls (23. 11. 2015 18:08)

↑ radimkupcak:
Čau

jen do nich dosaď
$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}(me^{\gamma t}\frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} t})-(-ke^{\gamma t}q)=0$

zderivuj ještě ten člen podle času a vyděl celou exponenecielou (protože ta určitě není rovna nule, tak to můžeš udělat)
$m\frac{\mathrm{d^{2}} q}{\mathrm{d} t}+\gamma \frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d}t}+kq=0$

radimkupcak

Díky! Je to pro mě pořád hodně nové ale myslím, že už rozumím. Jen ještě otázka, ve výsledku nahrazují $\omega$ ^2 =k/m, takže předpokládám že se rovnice vydělí m, tím pádem bude ve třetím člennu $\omega$ ^2 ale v druhám členu by mělo být 1/m nebo mi něco uniká ?

Brzls · 24. 11. 2015 19:56

↑ radimkupcak:
Neuniká ti nic, to je jen můj překlep :)
Jinak v zadání se ještě píše že máte najít obecné řešení, pokud vůbec nevíš jak se takovéto rovnice řeší, tak bych zkoušel googlit hesla typu lineární rovnice s konstatními koeficienty, případně tlumený harmonický oscilátor atd. Jinak připomínám, že je třeba rozlišit všechny tři případy, tedy kdy gama je větší než 2*omega, rovno a menší (to plyne z řešení příslušné charakteristické rovnice). Kdyby něco nebylo jasné tak se zeptej

radimkupcak · 26. 11. 2015 10:24

Tak jsem se díval a moc jsem toho nenašel a už vůbec jsem to nepochopil, ne škole jsme teprve nedávno v matematice zabrousili do rovnic prvniho řádu, ale obecné jsme neřešili. Nemohl by jsi mi prosím ten postup nějak rozepsat ?

Brzls · 26. 11. 2015 14:39 — Editoval Brzls (26. 11. 2015 14:41)

↑ radimkupcak:
Asi mohl.
Tak ono lze dokázat, že řešení je jednoznačné, když se k tomu daj počáteční podmínky. To znamená, že když nějaké řešení uhádnu, tak je to OK protože je jediný. No ale tyhle rovnice se tak doopravdy řeší (jako vážně).

Když se na to kouknu, tak po chvíli uvažování dospěju k tomu, že by to třeba mohla řešit nějaká exponeciela. Když jí zderivuju, tak tam ta expenenciela zůstane, akorát před ní něco vypadne. Na pravé strnaně mám nulu takže ty exponeciely se vykrátí. (tenhle postup se používá obecně u rovnic s konstantními koeficienty)

Takže tipuju řešení ve tvaru $q=Ce^{at}$
tedy
$q=Ce^{at}$
$\dot{ q}=Cae^{at}$
$\ddot{ q}=Ca^{2}e^{at}$
To tam dosadim, vydělím to tou exponencielou a dostanu rovnici
$a^{2}+\gamma a+\omega ^{2}=0$
To je kvadratická rovnice pro a $a=\frac{-\gamma \pm \sqrt{\gamma ^{2}-4\omega ^{2}}}{2}$
To znamená že když tam dosadim to původní řešení s tim vypočítaným a, tak to určitě bude sedět. Dokonce platí, že když jsou dvě funkce řešením, tak jejich součet je taky řešením (proto se tomu říká lineární rovnice)
Tedy $q(t)=e^{-\gamma t}(C_{1}e^{-\sqrt{D}t}+C_{2}e^{\sqrt{D}t})$

Kde D jsme označili diskriminant, ať ho pořád neopisujeme, využili vlastnotí exponenciály a C1 C2 jsou konstanty určené počátečními podmínkami.

Teďka:
KDyž $D>0$ Tak je řešení tak jak jsem psal
Když $D<0$ tak dostaneme nějakou komplexní funkci. Jenže díky https://cs.wikipedia.org/wiki/Euler%C5%AFv_vzorec se dá výsledek přepsat na
$e^{-\gamma t}(A\cos \sqrt{-D}t+B\sin \sqrt{-D}t)$ kde A a B jsou konstanty určené počátečními podmínkami

No a nakonec pro $D=0$ platí taková zajímavá věc, a to že řešení se dá zapsat jako $C_{1}e^{-\gamma t}+C_{2}te^{-\gamma t}$ to si klidně můžeš vyzkoušet

Tento postup se dá zobecnit na lineární rovnice s konstantními koeficienty libovolného řádu, takhle to ale vypadá u rovnic druhého řádu