Matematické Fórum

Quimby · 24. 11. 2015 22:49

Dobrý večer, snažím se spočítat tuto úlohu:
$\lim_{x\to1}\frac{x^{m-1} - (m+1)x+m}{(x-1)^{2}}$
m by mělo být z přirozených čísel(bez nuly)
Postupoval jsem takto:

1. Upravil jsem jen čitatel:
$=\lim_{x\to1}\frac{x^{m-1} -x -m(x-1)}{(x-1)^{2}}$
2. Nyní jsem vydělil první dva členy čitatele abych taky dostal (x-1) a mohl jedno zkrátit
$(x^{m-1} -x)/(x-1) = x^{m-2} + x^{m-3}+....+x^2 + x$
3.Takže po vykrácení mi vyjde
$\lim_{x\to1}\frac{x^{m-2} + x^{m-3}+....+x^2 + x -m}{x-1}$
4. Nyní si m rozepíšu jako m jedniček a seskupím je vždy s jedním x. Je tam ale pouze m-2 členů s x, takže mi tam zbyde -2
$\lim_{x\to1}\frac{[x^{m-2} -1]+[ x^{m-3}-1]+....+[x^2 -1]+[ x-1] -2}{x-1}$
5. Teď zkusím použít aritmetiku limit, což můžu pokud mi něco na konci vyjde.Konkrétně to roztrhnu na:
$\lim_{x\to1}\frac{x^{m-2} -1}{x-1} + \lim_{x\to1}\frac{x^{m-3} -1}{x-1}+.... + \lim_{x\to1}\frac{x -1}{x-1} + \lim_{x\to1}\frac{-2}{x-1}$
6. Nyní si pomůžu tím, že platí:
$\lim_{x\to1}\frac{x^{n} -1}{x-1}=n$
7. No takže v 5. existují všechny limity, kromě té poslední. S tou poslední podle mě už nejde nic dělat(ono asi nešlo nic už v tý 4.,ale chtěl jsem se dostat co nejdál.Ikdyž teda ta aritmetika stejně neplatí), takže bych tvrdil, že původní limita neexistuje.
Wolfram se se mnou shoduje, ale nevím jak je spolehlivý pro limity s parametrem.

Navíc, když si za m dosadím třeba 1, tak mi taky nic nevyjde, tak asi obecné řešení pro všechny $\mathbb{N}$ existovat ani nemůže.

Takže, pokud by mi někdo mohl zkontrolovat postup a uvažování, byl bych vděčný.

Brano · 25. 11. 2015 02:31

1) ano ta posledna limita neexistuje tak potom z toho, ze tie ostatne existuju dostanes, ze ta povodna nemoze existovat tiez
2) postup tak ako je napisany, s tym ze to rozkladas na jednotlive cleny ma zmysel pre $m>2$ (inak by si tam nemal dost clenov)
3) takze uz iba chyba preverit zvysne m-ka t.j. $m=0,1,2$ ale to je lahke - a celkovo ti vyjde, ze ta limita neexistuje pre kazde $m\in N$
4) keby si pouzil L'Hopitala tak to mas v podstate na jeden krok, aj ked prisne vzate potrebujes pocitat limitu sprava aj zlava aby si dostal, ze naozaj neexistuje

Quimby · 25. 11. 2015 07:46

Ahoj. To doověření mě třeba nenapadlo, tak děkuju moc. Jinak L'Hopital mě taky napadl, ale zatím ho ještě nemůžem používat.

Matematické Fórum

#1 24. 11. 2015 22:49

Limita funkce - dělitelnost polymu

#2 25. 11. 2015 02:31

Re: Limita funkce - dělitelnost polymu

#3 25. 11. 2015 07:46

Re: Limita funkce - dělitelnost polymu

Zápatí