Matematické Fórum

fghfghj · 28. 11. 2015 18:34

Mám najít maximum funkce v $\mathbb{R}^2$

$f(x,y)=(x-y)^2-x^4-y^4$

Našel jsem maxima v bodech $[1,-1]$ a $[-1,1]$ což je správně dle Wolframalphy.

Jenže zřejmě musím ještě dokázat, že daná funkce nikde nediverguje, tj. dokázat, že ať už si vezmemě jakýkoliv směr a pošleme proměnnou do nekonečna, tak že bude nabývat nějaké konečné hodnoty.

V tom případě by neměla maximum. Jak postupovat v případě řešení této limity?

jelena · 28. 11. 2015 21:42

Zdravím,

jakým způsobem jsi dokazoval, že v bodech $[1,-1]$ a $[-1,1]$ jsou maxima (lokální)? Pokud to je dostatečně průkazná metoda, proč bys potom měl ověřovat další podmínky, z čeho to plyne? Případně, když použiješ metodu řezu, tak je nějaké riziko, že v nalezených bodech není průkazně lokální maxima?

Mám najít maximum funkce v $\mathbb{R}^2$

o které maximum jde (dle definice)? potom ještě podle WA vidím snad ještě sedlo v $[0, 0]$ - vycházelo tak? Děkuji.

fghfghj · 28. 11. 2015 21:56

Ano, takto to vycházelo. Děkuji za ověření.

O tom se bohužel nějak zadání nemluví, očekávám, že myslí globální maximum (protože těsko lze mluvit o lokálním maximu v $\pm \infty$ ), když už explicitně zmiňují $\mathbb{R}^2$ .

Použil jsem jednoduše standardní derivaci podle x a podle y, našel konkrétní stacionární body a podle druhé derivace (matice a $f_{xx}$ ) ověřil, že jde skutečně o lokální maxima. Tato metoda však nebere v potaz "krajní hodnoty", tj. případ limitního chování.

Nicméně pokud by náhodou funkce divergovala někde v nekonečnu, tj. nabývala libovolně velkých či libovolně malých hodnot, pak nelze hovořit o maximu, resp. by globální maximum by bylo $\infty$ )

Z toho důvodu si myslím, že je ještě nutné ověřit, že funkce nikde nediverguje.

Je tomu tak?

jelena · 29. 11. 2015 09:15

↑ fghfghj:

děkuji, to je pravda, nejspíš je myšleno jako absolutní extrém na množině (neomezené), potom vyšetření nevlastních limit (snad by šlo po převodu do polárních souřadnic), nebo metodou řezu pro každé $x=c$ (nebo $y=c$ ) dostáváme "řezné křivky" ve tvaru $f(x,y)=(x-c)^2-x^4-c^4$ , u kterých jde prokázat chování a extrém takové křivky.

Zkušenost ale s takovým vyšetřením na neomezené množině však nemám, raději od někoho z kolegů, zda je navržený postup bude korektně splňovat požadovaný důkaz. Kolegům děkuji.

Brano · 29. 11. 2015 12:35 — Editoval Brano (29. 11. 2015 12:41)

↑ jelena: vysetrovat to na priamkach podla mna nestaci, na to by si musela pouzit nejaku dodatocnu vetu (ktora by snad aj mohla platit v pripade polynomov, ale ked nevieme, tak nevieme)
↑ fghfghj:
tak najprv taky co najefektivnejsi postup, ktory vyuziva to, ze si uz kadeco popocital
najprv si zistime hodnotu v tvojich kandidatoch $f(1,-1)=f(-1,1)=2$
a teraz sa pokusme najst mnozinu $A=\{(x,y); f(x,y)\ge 2\}$
mame $2\le (x-y)^2-x^4-y^4\le (x-y)^2+(x+y)^2-x^4-y^4=2x^2+2y^2-x^4-y^4$
teda
$0\ge 1-2x^2+x^4+1-2y^2+y^4=(1-x^2)^2+(1-y^2)^2$
a vidime, ze nutne $x^2=1$ a $y^2=1$
takze sme nasli vlastne takuto mnozinu $B=\{(x,y); g(x,y)\ge 2\}$ kde $g=(x-y)^2+(x+y)^2-x^4-y^4$ ale kedze
$f\le g$ tak plati $A\subseteq B=\{(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)\}$
takze staci overit, ze $f(1,1)=f(-1,-1)=-2$ to znamena, ze $A=\{(1,-1),(-1,1)\}$ lenze to je mnozina kde sa nadobuda presne $2$ takze to musi byt maximum.

Brano · 29. 11. 2015 13:02 — Editoval Brano (29. 11. 2015 13:26)

obvykle je strategia taka, ze ked mas neohranicenu mnozinu na ktorej hladas maximum, tak si ju chces nejak ohranicit (to sme v skutocnosti urobili aj v predchadzajucom postupe)

hned od pohladu vidime, ze $f(0,0)=0$ teda maximum musi byt vacsie ako $0$ tak staci hladat maximum na mnozine $f\ge 0$ resp na nejakej jej nadmnozine ktora ma pekny tvar aby sa s nou dobre pracovalo.

teda hladame $0\le (x-y)^2-x^4-y^4\le (x-y)^2+(x+y)^2-x^4-y^4=2x^2+2y^2-x^4-y^4$
teda $(1-x^2)^2+(1-y^2)^2\le 2$ teda $(1-x^2)^2\le 4$ a $(1-y^2)^2\le 4$
(vidis, ze tu staci robit iba dosledkove upravy - vzdy tym mnozinu zvacsujeme, ale to moc nevadi, omnoho dolezitejsie je aby mala pekny tvar a aby ostala konecna) a takto to este doupravujes na
$x\in[-2,2]$ a $y\in[-2,2]$ a na tejto mnozine by si mohol hladt globalne extremy standardnym sposobom
tie volne najdes tak ako si hladal a potom musis este pohladat viazane na hranicu, ale tu je iba dosadzanie $x,y=\pm 2$ a potom este overis rohy a mas.

Asak si treba uvedomit toto, ked tu mnozinu este zvacsis - napr. takto $x^2+y^2< 9$ (alebo proste $x,y\in(-3,3)$ )
tak mas istotu, ze na hranici sa budu nadobudat hodnoty mensie ako $0$ lebo su uplne mimo mnozinu co sme urcili predtym a teda jedini kandidati na globalne extremy budu iba tie lokalne.

cize cele to hladanie mnoziny ma vlastne iba taky vyznam, ze sa chces presvedcit, ze vobec existuje taka otvorene a ohranicena mnozina, ze mimo nu uz su hodnoty mensie ako $0$ co je vlastne odpoved na tvoju povodnu otazku.

fghfghj · 29. 11. 2015 13:51

Perfektní, děkuji!

jelena · 29. 11. 2015 14:15

Zdravím,
↑ Brano: děkuji, nerovnice s využitím maximální hodnoty mi, bohužel, nešla vyřešit, máš to pěkně :-)

V tomto případě by snad využití vyšetření polynomu v řezech $f(x,y)=(x-c)^2-x^4-c^4$ šlo, ale máš pravdu, že má omezené použití. Také, jak jsem psala, s tímto typem vyšetření žádnou větší, než intuitivní pro potřeby odhadů (viz "metody hadru") zkušenost nemám. Děkuji.

Matematické Fórum

#1 28. 11. 2015 18:34

Maximum funkcí dvou proměnných, které vede na limitu

#2 28. 11. 2015 21:42

Re: Maximum funkcí dvou proměnných, které vede na limitu

#3 28. 11. 2015 21:56

Re: Maximum funkcí dvou proměnných, které vede na limitu

#4 29. 11. 2015 09:15

Re: Maximum funkcí dvou proměnných, které vede na limitu

#5 29. 11. 2015 12:35 — Editoval Brano (29. 11. 2015 12:41)

Re: Maximum funkcí dvou proměnných, které vede na limitu

#6 29. 11. 2015 13:02 — Editoval Brano (29. 11. 2015 13:26)

Re: Maximum funkcí dvou proměnných, které vede na limitu

#7 29. 11. 2015 13:51

Re: Maximum funkcí dvou proměnných, které vede na limitu

#8 29. 11. 2015 14:15

Re: Maximum funkcí dvou proměnných, které vede na limitu

Zápatí