Matematické Fórum

Pavel · 30. 11. 2015 15:21 — Editoval Pavel (30. 11. 2015 15:22)

Charakterizujte reálné funkce definované na R mající následující vlastnost:

$\forall x_0\in\mathbb R\ \forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0:\ |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon\ \Rightarrow\ |x-x_0|<\delta.$

Brano · 30. 11. 2015 17:26

mas tam volnu premennu $x$ - ak ju neviazes a tvrdis, ze sa jedna o vyrok, tak sa tym obvykle mysli, ze je na zaciatku vyroku $\forall x$ - je to to co si myslel?

Pavel · 30. 11. 2015 21:32

↑ Brano:

máš pravdu, upřesním to:

$\forall x_0\in\mathbb R\ \forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0\ \forall x\in\mathbb R:\ |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon\ \Rightarrow\ |x-x_0|<\delta.$

Brano · 30. 11. 2015 22:49

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Pavel · 01. 12. 2015 08:08

↑ Brano:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Brano · 01. 12. 2015 11:11 — Editoval Brano (01. 12. 2015 11:17)

↑ Pavel:
pravda, ja som z nejakeho dovodu automaticky predpokladal, ze ziadame okrem tvojej vlastnosti aj spojitost.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Pavel · 01. 12. 2015 11:18 — Editoval Pavel (01. 12. 2015 11:18)

↑ Brano:

Funkce spojitá být nemusí, byť uvedená vlastnost definici spojitosti velice připomíná.

Andrejka3 · 02. 12. 2015 15:40

Ahoj. A dáš nějaký hint? Případně řešení, po nějaké době? Zajímalo by mě i to, jak by to dopadlo, kdybychom kvantifikátor pro x_0 přesunuli až za kvantifikátor pro delta (stejnoměrnost).

Pavel · 02. 12. 2015 19:43 — Editoval Pavel (02. 12. 2015 19:45)

↑ Brano:

To je správně.

Pavel · 03. 12. 2015 14:19

↑ Andrejka3:

Pokud by se kvantifikátor přesunul tak, jak navrhuješ, tj.

$\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0\ \forall x_0,x\in\mathbb R:\ |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon\ \Rightarrow\ |x-x_0|<\delta$

pak odhaduji, že by tuto vlastnost splňovaly funkce, pro které platí: